Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse ANA)

Quasilinear second order elliptic systems and topological degree

Gebran, Hicham Georges ; Stuart, Charles Alexander (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2005 ; no 3289.

Ajouter à la liste personnelle
    Summary
    We consider a large class of quasilinear second order elliptic systems of the form       - ∑α,β=1N aαβ(x,u(x)),∇u(x))∂2αβu(x) + b(x,u(x),∇u(x)) = 0, where x varies in an unbounded domain Ω of the Euclidean space RN and u = (u1,...,um) is a vector of functions. These systems generate operators acting between the Sobolev spaces W2,p(Ω, Rm) and Lp(Ω, Rm) for p > N. We investigate then the Fredholm and properness properties of these operators and the connections between them. These functional properties play important roles in the existence theory of nonlinear differential equations, and they are related to two recent topological degrees. A first part of this work is an extension of recent results obtained by Rabier and Stuart who studied the scalar case (a single equation) on RN. Our results cover the case of several equations (coupled equations) defined on more general domains. We also study the question of exponential decay of solutions. The general results obtained in our framework are then applied to more specific and new situations: steady reaction-diffusion systems and nonlinear elasticity, where by means of the topological degree, we prove new existence and global continuation results.
    Résumé
    Dans ce travail, nous considérons une grande classe de systèmes elliptiques quasilinéaires du 2ème ordre de la forme       - ∑α,β=1N aαβ(x,u(x)),∇u(x))∂2αβu(x) + b(x,u(x),∇u(x)) = 0, où x varie dans un domaine Ω non borné de l'espace Euclidien RN, et u = (u1,...,um) est un vecteur de fonctions inconnues. Ces systèmes engendrent des opérateurs agissant entre les espaces de Sobolev W2,p(Ω, Rm) et Lp(Ω, Rm) pour p > N. Nous examinons alors les propriétés de Fredholm et des applications propres, de ces opérateurs, et l'interaction entres elles. Ces propriétés fonctionnelles jouent des rôles importants dans le domaine des équations différentielles nonlinéaires, et sont aussi liées à deux degrés topologiques récents. Une première partie de ce travail constitue une généralisation de résultats récemment obtenus par Rabier et Stuart qui ont traité le cas scalaire (une seule équation) sur RN. Notre étude couvre donc le cas de plusieurs équations (équations couplées) définies sur des domaines plus généraux. Nous étudions aussi la question de décroissance exponentielle des solutions. Les résultats obtenus dans notre cadre général nous permettent ensuite d'explorer de nouvelles situations plus spécifiques: systèmes stationnaires de réaction-diffusion et élasticité non linéaire, où grâce au degré topologique, nous démontrons de nouveaux résultats d'existence et de continuation globale.