Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse mathématique et applications CAA)

## Inclusions différentielles et problèmes variationnels

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3583.

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Summary
In this thesis we deal with three different but connected questions. Firstly (cf. Chapter 2) we make a systematic study of the generalized notions of convexity for sets. We study the notions of polyconvex, quasiconvex and rank one convex set. We remark that these notions are nowadays well known in the context of functions, but not in the context of sets. Following the classical approach, we give precise definitions of generalized convex sets and we study several issues, in this generalized sense, as the concept of convex hull, Carathéodory and separation theorems and the notion of extremal point. Secondly we have studied some differential inclusions of the form The method we have used to solve this kind of problems is the Baire categories method developed by Dacorogna-Marcellini [14]. Known sufficient conditions for this problem are connected to the generalized convex hull of the set E. In Chapter 3, we compute the rank one convex hull of some matrix sets to obtain, in Chapter 4, existence results. Namely, we have considered the problem of finding u : Ω ⊂ Rn → RN with Dirichlet boundary condition such that Φ (Du(x)) ∈ {α, β}, a.e.  x ∈ Ω, Φ being an arbitrary quasi-affine function. We have also considered the problem of finding u : Ω ⊂ Rn → Rn such that where λ1(Du) ≤...≤ λn(Du) are the singular values of Du ∈ Rn×n. Finally, in Chapter 5, we deal with several minimizing problems of the form Denoting by Qf  the quasiconvex envelope of f, we verify that solving the equation Qf(Du(x)) = f(Du(x)), a.e.  x ∈ Ω is, under some conditions, sufficient to ensure the existence of solution of (P). The differential inclusions that we consider in Chapter 4 are helpful to solve some equations of the form (2) and thus, it allows us to solve problems of type (P). In particular, we have considered the problem (P) with f(ξ) = g(Φ(ξ)), ∀ ξ ∈ RN×n Φ being an arbitrary quasi-affine function.
Résumé
Dans cette thèse on dédie notre attention à trois questions différentes qui sont toutefois reliées entre elles. La première (cf. Chapitre 2) est celle de faire un étude systématique des notions de convexité au sens généralisé pour les ensembles. On a étudié les notions d'ensemble polyconvexe, quasiconvexe et rang un convexe. On note que ces notions sont aujourd'hui bien connues dans le contexte des fonctions, mais pas dans le contexte des ensembles. On suit l'approche classique. Ainsi, après avoir donné des définitions précises de convexité généralisée pour les ensembles, on étudie, dans ce sens généralisé, des questions comme le concept d'enveloppe convexe, des théorèmes de Carathéodory et de séparation et les notions de point extrême. Dans une deuxième partie de ce travail on tourne notre attention vers la résolution de certaines inclusions différentielles de la forme La méthode utilisée est la méthode des catégories de Baire développée par Dacorogna-Marcellini [14]. Les conditions suffisantes d'existence connues pour ce type de problèmes sont liées aux enveloppes convexes au sens généralisé de l'ensemble E. Ainsi, dans le Chapitre 3, on calcule l'enveloppe rang un convexe de certains ensembles de matrices pour obtenir, dans le Chapitre 4, des résultats d'existence de solution. On a considéré, entre autres, le problème de trouver u : Ω ⊂ Rn → RN tel que Φ(Du(x)) ∈ {α, β}, p.p.  x ∈ Ω, où Φ est une fonction quasi-affine quelconque et où l'on prescrit la valeur de u sur ∂Ω. On a aussi considéré le problème de trouver u : Ω ⊂ Rn → Rn tel que où λ1(Du) ≤...≤ λn(Du) désignent les valeurs singulières de Du ∈ Rn×n. Finalement, dans le Chapitre 5, on considère plusieurs problèmes de minimisation de la forme En dénotant par Qf  l'enveloppe quasiconvexe de f, on vérifie que la résolution de l'équation Qf(Du(x)) = f(Du(x)), p.p.  x ∈ Ω est, dans certaines conditions, suffisante pour assurer l'existence de solution de (P). La résolution des inclusions différentielles considérées dans le Chapitre 4 nous permet alors de résoudre certaines équations de la forme (1) et d'ailleurs des problèmes de la forme (P). On a considéré notamment le cas où f(ξ) = g(Φ(ξ)), ∀ ξ ∈ RN×n où Φ est une fonction quasi-affine arbitraire.