Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut de géométrie, algèbre et topologie IGAT (Groupe Troyanov GR-TR)

Regularity in metric spaces

Timochine, Serguei ; Troyanov, Marc (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3571.

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    Summary
    Using arguments developed by De Giorgi in the 1950's, it is possible to prove the regularity of the solutions to a vast class of variational problems in the Euclidean space. The main goal of the present thesis is to extend these results to the more abstract context of metric spaces with a measure. In particular, working in the axiomatic framework of Gol'dshtein – Troyanov, we establish both the interior and the boundary regularity of quasi-minimizers of the p-Dirichlet energy. Our proof works for quite general domains, assuming some natural hypotheses on the (axiomatic) D-structure. Furthermore, we prove analogous results for extremal functions lying in the class of Sobolev functions in the sense of Hajłasz – Koskela, i.e. functions characterized by the single condition that a Poincaré inequality be satisfied. Our strategy to prove these regularity results is first to show that, in a very general setting, the (Hölder) continuity of a function is a consequence of three specific technical hypotheses. This part of the argument is the essence of the De Giorgi method. Then, we verify that for a function u which is a quasi-minimizer in an axiomatic Sobolev space or an extremal Sobolev function in the sense of Hajłasz – Koskela, these technical hypotheses are indeed satisfied and u is thus (Hölder) continuous. In addition to that, we establish the Harnack's inequality for these extremal functions, and we show that the Dirichlet semi-norm of a piecewise-extremal function is equivalent to the sum of the Dirichlet semi-norms of its components.
    Résumé
    En utilisant des arguments développés par De Giorgi dans les années 1950, on peut démontrer la régularité des solutions de nombreux problèmes variationnels dans l'espace euclidien. Le but principal de cette thèse est d'étendre ces résultats de régularité au cadre plus abstrait des espaces métriques mesurés. En particulier, en travaillant dans le cadre axiomatique développé par Gol'dshtein et Troyanov, on démontre la régularité intérieure et la régularité au bord des fonctions qui sont quasi-minimisantes pour la p-energie de Dirichlet. Notre preuve est valide pour des domaines assez généraux, en supposant que quelques conditions naturelles sur la D-structure (axiomatique) sont satisfaites. Nous démontrons aussi des résultats analogues pour les fonctions extrémales dans la classe des fonctions de Sobolev étudiée par Hajłasz et Koskela, i.e. des fonctions qui sont caractérisées par une inégalité de Poincaré. Pour établir ces résultats nous employons la stratégie suivante: nous montrons d'abord que, dans un cadre très général, une fonction qui vérifie trois hypothèses techniques est (Hölder) continue. Cette partie de l'argument forme l'essence de la méthode de De Giorgi. Puis nous vérifions que pour toute fonction u qui est quasi-minimisantes pour la p-energie de Dirichlet dans un espace de Sobolev axiomatique ou qui est une fonction de Sobolev extrémale au sens de Hajłasz et Koskela, nos trois hypothèses techniques sont en effet vérifiées. La continuité Hölderienne de u en découle. En conclusion de cette thèse, nous établissons l'inégalité de Harnack pour ces fonctions extrémales et nous prouvons que la semi-norme de Dirichlet d'une fonction extrémale par morceaux est équivalente à la somme des semi-normes de Dirichlet de ses composants.