Faculté des sciences de base SB, Département de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse et de simulation numérique ASN)

Modélisation et analyse numérique de problèmes de réaction-diffusion provenant de la solidification d'alliages binaires

Krüger, Olivier ; Rappaz, Jacques (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 1999 ; no 2071.

Ajouter à la liste personnelle
    Summary
    In this work, we are interested in elaborating models and numerical methods in order to study some phenomena which arise in the solidification of binary alloys. We propose two distinct models based on the mass and energy conservation laws as well as on classical thermodynamics. The first model is based on the irreversible process theory and therefore requires the computation of the entropy of the system to complete the description. To obtain this quantity, we develop a formalism and a method which yields numerical results. This construction is made so that the entropy function inherits some interesting mathematical properties from physical requirements. These properties allow us to elaborate and analyze mathematically an original scheme using a time discretization depending on a real parameter to solve the solidification problem. In particular, we are able to prove that the scheme is stable for all values of the time step if the parameter is chosen correctly. Furthermore, we give some numerical results to support the theory. The second model, called phase-field model, is used to describe dendrites' formation during the solidification of binary alloys. The nature of the problem constrains us to use very fine meshes in some physical regions. To reduce the number of discrete unknowns, we develop an adaptive mesh strategy based on an ad-hoc error estimator. We make numerical tests showing that the method converges on regular meshes and that the estimator is in good agreement with the true error. We also show that the mesh refinement strategy gives good results in academic and physical cases.
    Résumé
    Nous nous intéressons dans ce travail à la modélisation et à la simulation numérique de certains phénomènes apparaissant lors de la solidification d'alliages binaires. Nous proposons deux modèles basés sur les lois de conservation de la masse et de l'énergie ainsi que sur la thermodynamique. Le premier de ces modèles utilise la théorie des processus irréversibles et nécessite de connaître l'expression de la densité d'entropie du système. Pour ce faire, nous développons un formalisme permettant le calcul de cette grandeur. En réalité, nous n'obtenons pas une expression analytique pour celle-ci, mais nous avons écrit un programme permettant de la calculer numériquement. Par construction, cette fonction possède d'intéressantes propriétés mathématiques découlant d'exigences physiques. Ces propriétés nous permettent de proposer et d'analyser mathématiquement un schéma numérique original dont la discrétisation temporelle dépend d'un paramètre réel. En particulier, nous montrons qu'il est possible de le rendre stable quel que soit le pas de temps choisi grâce à ce paramètre, tout en assurant des temps et une complexité de calcul raisonnables. Nous appuyons également notre analyse par des expérimentations numériques. Le second modèle, appelé modèle en champ de phase, est construit afin de décrire l'apparition de dendrites lors de la solidification d'alliages binaires. La nature du problème physique nécessite une discrétisation spatiale extrêmement fine dans certaines régions de l'espace. Afin de diminuer le nombre d'inconnues dans le problème discret, nous développons une stratégie d'adaptation de maillage basée sur un estimateur d'erreur ad-hoc. Des tests numériques montrent que sur des maillages réguliers la méthode converge et que l'estimateur proposé reflète bien l'erreur réelle commise. La stratégie d'adaptation de maillage est également justifiée par la simulation de cas tests et de cas physiques.