Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques (Chaire de géométrie GEOM)

## Trace coordinates of Teichmüller spaces of Riemann surfaces

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3521.

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Summary
Using an algebraic formalism based on matrices in SL(2,R), we explicitly give the Teichmüller spaces of Riemann surfaces of signature (0,4) (X pieces), (1,2) ("Fish" pieces) and (2,0) in trace coordinates. The approach, based upon gluing together two building blocks (Q and Y pieces), is then extended to tree-like pants decomposition for higher signatures (g,n) and limit cases such as surfaces with cusps or cone-like singularities. Given the Teichmüller spaces, we establish a set of generators of their modular groups for signatures (0,4), (1,2) and (2,0) in trace coordinates using transformations acting separately on the building blocks and an algorithm on dividing geodesics. The fact that these generators act particularly nice in trace coordinates gives further motivation to this choice (rather then the one of Fenchel-Nielsen coordinates). This allows us to solve the Riemann moduli problem for X pieces, "Fish" pieces and surfaces of genus 2; i.e. to give the moduli spaces as the fundamental domains for the action of the modular groups on the Teichmüller spaces. In this context, we also give an algorithm deciding whether two Riemann surfaces of signatures (0,4), (1,2) or (2,0) given by points in the Teichmüller space are isometric or not. As a consequence, we show the following two results concerning simple closed geodesics: On any purely hyperbolic Riemann surface (containing neither cusps nor cone-like singularities), the longest of two simple closed geodesics that intersect one another n times is of length at least ln, a sharp constant independent of the surface. We explicitly give ln for n = 1,2,3 and study its behaviour when n goes to infinity. X pieces are spectrally rigid with respect to the length spectrum of simple closed geodesics.
Résumé
En utilisant un formalisme algébrique basé sur des matrices dans SL(2,R), les espaces de Teichmüller des surfaces de Riemann de signature (0,4) (pièces X), (1,2) (pièces "poisson") et (2,0) sont donnés explicitement dans des coordonnées de traces. L'approche, basée sur le collage de deux pièces de construction (des pièces Q et Y), est alors étendue à des décompositions en pantalons (dont les graphes sont des arbres) de surfaces de signature (g,n) ainsi qu'aux cas limites des surfaces avec "cusps" ou singularités coniques. Donnés les espaces de Teichmüller, nous établissons un ensemble de générateurs des groupes modulaires pour les signatures (0,4), (1,2) et (2,0) dans des coordonnées de traces en utilisant des transformations agissant séparément sur les pièces de construction et un algorithme sur les géodésiques divisentes. Le fait que ces générateurs agissent d'une manière particulièrement simple en coordonnées de traces donne une motivation supplémentaire pour ce choix (plutôt que celui des coordonnées de Fenchel-Nielsen). Ceci nous permet de résoudre le problème des moduli de Riemann pour les pièces X, les pièces "poisson" et les surfaces de genre 2 ; c.-à-d. de donner les espaces des moduli comme domaines fondamentaux de l'action des groupes modulaires sur les espaces de Teichmüller. Dans ce contexte, nous donnons également un algorithme décidant si deux surfaces de Riemann des signatures (0,4), (1,2) ou (2,0) données par des points dans l'espace de Teichmüller sont isométriques. Comme conséquence, nous prouvons les deux résultats suivants concernant les géodésiques fermées simples : Sur toute surface de Riemann purement hyperbolique (ne contenant ni "cusps" ni singularités coniques), la plus longue de deux géodésiques fermées simples qui s'intersectent n fois est de longueur au moins ln, une constante optimale indépendante de la surface. Nous donnons explicitement ln pour n = 1,2,3 et nous étudions son comportement quand n tend vers l'infini. Les pièces X sont spectralement rigides par rapport au spectre des longueurs des géodésiques fermées simples.