Département de physique

Adiabatic dynamical systems and hysteresis

Berglund, Nils ; Kunz, Hervé (Dir.)

Thèse Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 1998 ; no 1800.

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    Summary
    This work is dedicated to the study of Dynamical Systems, depending on a slowly varying parameter. It contains, in particular, a detailed analysis of memory effects, such as hysteresis, which frequently appear in systems involving several time scales. In a first part of this dissertation, we develop a mathematical framework to deal with adiabatic differential equations. We do this, whenever possible, by favouring the geometrical approach to the theory, which allows to derive qualitative properties of the dynamics, such as existence of hysteresis cycles and scaling laws, with a minimum of analytic calculations. We begin by analysing one-dimensional adiabatic systems of the form εẋ = f(x,τ). We first show existence of adiabatic solutions, which remain close to equilibrium branches of the system, and admit asymptotic series in the adiabatic parameter ε. We then provide a method to analyse solutions near bifurcation points, and show that they scale in a nontrivial way with ε, with an exponent that can be easily computed. The analysis is concluded by examining global properties of the flow, in particular existence of hysteresis cycles. These results are then extended to the n-dimensional case. The discussion of adiabatic solutions carries over in a natural way. The dynamics of neighboring solutions is, however, more difficult to analyse. We first provide a method to diagonalize linear equations dynamically, and show that eigenvalue crossings lead to similar behaviours than bifurcations. We then introduce some methods to deal with nonlinear terms, in particular adiabatic manifolds and dynamic normal forms. In a second part of this work, we apply the previously developed methods to some selected examples. We first discuss the dynamics of some low-dimensional nonlinear oscillators. In particular, we present the example of a damped pendulum, on a table rotating with a slowly oscillating angular frequency. This system displays chaotic motion even for arbitrarily small adiabatic parameter. This phenomenon is explained by computing an asymptotic expression of the Poincaré map. As a second application, we analyse a few models of ferromagnetism. Starting from a lattice model with stochastic spin flip dynamics, we show how to derive a deterministic equation of motion of Ginzburg-Landau type, in the case of infinite range interactions and in the thermodynamic limit. We analyse the influence of dimensionality and interaction anisotropy on shape and scaling properties of hysteresis cycles. A few simple approximations to the dynamics of an Ising model are also discussed. We conclude this work by extending some properties of adiabatic differential equations to iterated maps. We give some results on existence of adiabatic invariants for near-integrable slow-fast maps, and apply them to billiards.
    Résumé
    Ce travail est dédié à l'étude de Systèmes Dynamiques dépendant d'un paramètre lentement variable. Il contient en particulier une analyse détaillée de certains effets de mémoire, tels que l'hystérèse, qui apparaissent fréquemment dans les systèmes faisant intervenir plusieurs échelles de temps. Dans une première partie de cet exposé, nous développons un cadre mathématique ayant pour but de résoudre les équations différentielles adiabatiques. Pour ce faire, nous favorisons dans la mesure du possible l'approche géométrique de la théorie, ce qui permet de dériver des propriétés qualitatives de la dynamique, telles que l'existence de cycles d'hystérèse et les lois d'échelle, avec un minimum de calculs analytiques. Nous commençons par analyser des systèmes adiabatiques unidimensionnels de la forme εẋ = f(x,τ). Nous montrons d'abord l'existence de solutions adiabatiques, qui restent proches de branches d'équilibre du système, et admettent des séries asymptotiques dans la paramètre adiabatique ε. Ensuite, nous fournissons une méthode permettant d'analyser les solutions près de points de bifurcation, et montrons qu'elles suivent des lois d'échelle non triviales en fonction d'ε, avec un exposant qui peut être aisément calculé. Cette analyse est conclue en examinant des propriétés globales du flot et, en particulier, l'existence de cycles d'hystérèse. Ces résultats sont ensuite étendus au cas à n dimensions. La discussion des solutions adiabatiques se transpose de manière immédiate. La dynamique au voisinage de ces solutions est, par contre, plus difficile à analyser. Nous fournissons d'abord une méthode de diagonalisation dynamique des équations linéarisées, et nous montrons que les croisements de valeurs propres conduisent à des comportements similaires que les bifurcations. Nous introduisons ensuite quelques méthodes permettant de contrôler les termes non-linéaires, en particulier des variétés adiabatiques et des formes normales dynamiques. Dans une seconde partie de ce travail, nous appliquons les méthodes développées précédemment à quelques exemples choisis. Nous discutons d'abord la dynamique de certains oscillateurs non-linéaires de basse dimension. En particulier, nous présentons l'exemple d'un pendule amorti, monté sur une table tournant à fréquence angulaire lentement os-cillante. Ce système adopte des mouvements chaotiques même pour un paramètre adiabatique arbitrairement petit. Ce phénomène est expliqué en calculant une expression asymptotique de l'application de Poincaré. Comme seconde application, nous analysons quelques modèles de ferromagnétisme. En partant d'un modèle sur réseau avec dynamique stochastique, nous montrons comment dériver une équation du mouvement déterministe du genre Ginzburg-Landau, dans le cas d'une interaction de portée infinie et dans la limite thermodynamique. Nous analysons l'influence de la dimensionnalité et de l'anisotropie de l'interaction sur la forme et les propriétés d'échelle des cycles d'hystérèse. Quelques approximations simples de la dynamique du modèle d'Ising sont également présentées. Nous concluons ce travail en étendant quelques propriétés des équations différentielles adiabatiques aux applications Aérées. Nous donnons quelques résultats sur l'existence d'invariants adiabatiques pour les applications lentes-rapides intégrables perturbées, et les appliquons aux billards.