Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut de géométrie, algèbre et topologie IGAT (Chaire de théorie des groupes CTG)

Modules d'endo-p-permutation

Urfer, Jean-Marie ; Thévenaz, Jacques (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3544.

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    Summary
    This dissertation is concerned with the study of a new family of representations of finite groups, the endo-p-permutation modules. Given a prime number p, a finite group G of order divisible by p and an algebraically closed field k of characteristic p, we say that a kG-module M is an endo-p-permutation module if its endomorphism algebra Endk(M) is a p-permutation kG-module, that is a direct summand of a permutation kG-module. This generalizes the notion, first introduced by E. Dade in 1978, of endo-permutation modules for p-groups . For P a p-group, E. Dade defined an abelian group structure on the set of isomorphism classes of indecomposable endo-permutation kP-modules with vertex P and he proved that the complete description of the structure of this group is equivalent to the classification of endo-permutation kP-modules. This group of isomorphism classes is now called the Dade group of the p-group P. The problem of describing the Dade group for an arbitrary p-group was recently solved by S. Bouc. This opens the question of studying endo-p-permutation modules, which are the natural generalization to arbitrary finite groups of endo-permutation modules. In the following text, we present the basic properties of endo-p-permutation modules and give a characterization of indecomposable endo-p-permutation modules with vertex P via properties of their sources modules. In particular, when the normalizer of P controls p-fusion, we are able to give a complete classification of sources of indecomposable endo-p-permutation modules with vertex P, using Bouc's description of the Dade group. When p is odd, we also give an alternative proof of a theorem of Dade concerned with extensions of endo-permutation modules, using our previous results. We present a consequence of this theorem of Dade on the structure of the multiplicity module associated to an indecomposable endo-p-permutation module. Finally we study some concrete examples of endo-p-permutation modules such as relative syzygies and relative Heller translates. We prove also that the Green correspondent of an indecomposable kNG(P)- endo-p-permutation module with vertex P is not in general an endo-p-permutation kG-module. The study of such representations is motivated by the important role they play in certain areas of representations theory. For instance, endo-permutation modules, and more generally endo-p-permutation modules (as is proved here), appear in the study of simple modules for p-solvable groups.
    Résumé
    Ce travail étudie une nouvelle famille de représentations de groupes finis, les modules d'endo-p-permutation. Etant donné un nombre premier p, un groupe fini G d'ordre divisible par p et un corps algébriquement clos de caractéristique p, on dit qu'un kG-module M est un kG-module d'endo-p-permutation si son algèbre des endomorphismes Endk(M) est un kG-module de p-permutation, c'est-à-dire un facteur direct d'un kG-module de permutation. Cela généralise la notion, introduite par E. Dade en 1978, de module d'endo-permutation pour les p-groupes. Pour un p-groupe P, E. Dade construisit une structure de groupe abélien sur l'ensemble des classes d'isomorphisme de kP-modules indécomposables de vortex P et il démontra que la description complète de la structure de ce groupe est équivalente à la classification des kP-modules d'endo-permutation. Ce groupe est appelé aujourd'hui groupe de Dade du p-groupe P. Le problème de décrire le groupe de Dade pour un p-groupe arbitraire ayant été résolu récemment par S. Bouc, cela ouvre la question de l'étude des modules d'endo-p-permutation qui sont la généralisation naturelle aux groupes finis arbitraires des modules d'endo-permutation. Dans le texte qui suit, nous présentons les propriétés élémentaires des modules d'endo-p-permutation et donnons une caractérisation des modules d'endo-p-permutation indécomposables de vortex P via des propriétés sur leurs sources. En particulier, quand le normalisateur de P contrôle la p-fusion, nous pouvons donner une classification complète des sources de kG-modules d'endo-p-permutation indécomposables de vortex P, en utilisant la description du groupe de Dade de S. Bouc. Nous donnons aussi (quand p est impair) une nouvelle preuve d'un théorème de Dade concernant l'extension des modules d'endo-permutation, en utilisant nos résultats précédents. Nous présentons une conséquence de ce théorème de Dade sur la structure du module de multiplicité associé à un module d'endo-p-permutation indécomposable. Finalement, nous étudions quelques exemples concrets de modules d'endo-p-permutation comme les syzygies relatives et les translatés de Heller relatifs. Nous prouvons aussi que le correspondant de Green d'un kNG(P)-module d'endo-p-permutation n'est pas en général un kG-module d'endo-p-permutation. Notons encore que l'étude de telles représentations est motivée par le rôle important qu'elles jouent dans certains domaines de la théorie des représentations. Par exemple, les modules d'endo-permutation et plus généralement les modules d'endo-p-permutation (comme prouvé ici), apparaissent dans l'étude des modules simples pour les groupes p-résolubles.