Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques (Chaire d'analyse et de simulation numérique ASN)

Analysis and numerical simulation of viscoelastic flows : deterministic and stochastic models

Bonito, Andrea ; Picasso, Marco (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3490.

Add to personal list
    Summary
    Mathematical and numerical aspects of viscoelastic flows are investigated here. Two simplified mathematical models are considered. They are motivated by a splitting algorithm for solving viscoelastic flows with free surfaces. The first model is a simplified Oldroyd-B model. Existence on a fixed time interval is proved in several Banach spaces provided the data are small enough. Short time existence is also proved for arbitrarily large data in Hölder spaces for the time variable. These results are based on the maximal regularity property of the Stokes operator and on the analycity behavior of the corresponding semi-group. A finite element discretization in space is then proposed. Existence of the numerical solution is proved for small data, as well as a priori error estimates, using an implicit function theorem framework. Then, the extension of these results to a stochastic simplified Hookean dumbbells model is discussed. Because of the presence of the Brownian motion, existence in a fixed time interval, provided the data are small enough, is proved only in some of the Banach spaces considered previously. The dumbbells' elongation is split in two parts, one satisfying a standart stochastic differential equation, the other satisfying a partial differential equation with a stochastic source term. A finite element discretization in space is also proposed. Existence of the numerical solution is proved for small data, as well as a priori error estimates. A numerical algorithm for solving viscoelastic flows with free surfaces is also described. This algorithm is based on a splitting method in time and two different meshes are used for the space discretization. Convergence of the numerical model is checked for the pure extensional flow and the filling of a pipe. Then, numerical results are reported for the stretching of a filament and for jet buckling.
    Résumé
    Nous nous intéressons à quelques aspects mathématiques et numériques liés à des écoulements de fluides viscoélastiques. Dans la première partie de cette thèse, nous traitons quelques problèmes mathématiques simplifiés issus d'un algorithme numérique proposé pour résoudre numériquement des écoulements de fluides viscoélastiques avec surfaces libres. Le modèle d'Oldroyd-B est le premier considéré. L'existence dans un intervalle de temps fixé est prouvée dans plusieurs espaces de Banach en supposant que les données soient suffisamment petites. L'existence pour des données arbitrairement grandes est aussi prouvée mais cette fois uniquement dans l'espace de fonctions Hölderiennes en temps et pour un intervalle de temps suffisamment petit. Ces résultats sont basés sur la propriété de régularité maximale du problème de Stokes et sur le fait qu'il soit générateur d'un semi-groupe analytique. Une méthode d'éléments finis est ensuite proposée. L'existence de la solution numérique ainsi que sa convergence est prouvée pour des données suffisament petites en utilisant le cadre du théorème des fonctions implicites. Ces résultats sont ensuite étendus à un problème stochastique, le modèle des "dumbbells" (haltères). La présence du mouvement Brownien nous conduit à considérer des espaces de Banach spécifiques dans lesquels l'existence est prouvée pour des données suffisamment petites. Pour cela, nous découplons la partie stochastique du reste du problème afin d'invoquer des résultats classiques sur les équations stochastiques et de mettre en place un cadre similaire à celui utilisé pour le problème déterministe. Comme pour le modèle d'Oldroyd-B, une approximation par éléments finis est proposée. L'existence de la solution numérique ainsi que sa convergence est prouvée pour des données suffisament petites. Dans la deuxième partie de la thèse, nous décrivons l'algorithme numérique proposé pour résoudre l'écoulement de fluides viscoélastiques avec surfaces libres. Cet algorithme est basé sur une méthode de pas fractionnaires en temps et deux maillages différents sont utilisés pour l'approximation en espace. Nous vérifions la convergence du modèle numérique dans les cas d'élongation pure de fluides et de remplissage de tubes. Pour finir, des simulations numériques du flambage d'un jet viscoélastique et d'étirement d'un filament viscoélastique sont présentées.