Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse et de simulation numérique ASN)

Finite element methods with patches and applications

Wagner, Joël ; Rappaz, Jacques (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3478.

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    Summary
    Theoretical and numerical aspects of multi-scale problems are investigated. On one hand, mathematical analysis is done on a new method for numerically solving problems with multi-scale behavior using multiple levels of not necessarily nested grids. A particularly flexible multiplicative Schwarz method is presented, requiring no conformity between the meshes at the different scales. The relaxed iterative method consists in calculating successive corrections to the solution in regions where the variations of a problem are too strong to be captured by a coarse initial mesh. In these sub-domains patches of finite elements are applied. A priori and a posteriori error estimates are given and an exact spectral analysis of the iteration operator describing the algorithm is presented. Computational issues are addressed and numerical methods to obtain optimal convergence are given. Crucial implementation matters are discussed with special regard to usage of memory and CPU-time. On the other hand, the efficiency of the introduced correction method is demonstrated on Laplace model problems, either with changing Dirichlet-Neumann boundary conditions or in a polygonal domain with entrant corner. The regularity of the solutions is studied as well as the improvement of the convergence order in the mesh size using various sizes of patches. The correction algorithm is also applied to improve the accuracy in the simulation of the stress field in glacier modeling. A simple model to obtain the effective stress field in the ice mass of a glacier is presented and concluding results are obtained using patches in the regions where changes in the basal boundary conditions are involved.
    Résumé
    Nous nous intéressons à quelques aspects théoriques et numériques de problèmes multi-échelles. Dans la première partie de cette thèse, nous effectuons une analyse mathématique d'une nouvelle méthode pour résoudre numériquement des problèmes avec données multi-échelles utilisant plusieurs niveaux de grilles non nécessairement emboîtées. Nous présentons une méthode multiplicative de type Schwarz, particulièrement souple dans le sens qu'elle ne requiert pas de conformité entre les maillages aux différents niveaux. La méthode itérative relaxée consiste à calculer des corrections successives de la solution par régions où les variations du problème sont trop importantes pour être résolues sur une grille grossière initiale. Dans ces sous-domaines nous appliquons des patchs d'éléments finis. Nous donnons des estimations d'erreur a priori et a posteriori, et présentons une analyse spectrale complète de l'opérateur d'itération décrivant l'algorithme. Nous considérons les problèmes de calcul et proposons des méthodes numériques pour obtenir la convergence optimale. Nous discutons les points cruciaux dans l'implantation avec une attention particulière quant à l'utilisation de la mémoire et du temps CPU. Dans la seconde partie de cette thèse, nous démontrons l'efficacité de la méthode de correction sur des problèmes modèle de Laplace, avec changement de conditions au bord du type Dirichlet-Neumann ou dans un domaine polygonal avec coin entrant. Nous étudions la régularité des solutions ainsi que l'amélioration de l'ordre de convergence dans la taille des éléments de la grille en utilisant différentes grandeurs de patchs. Nous appliquons également l'algorithme de correction pour améliorer la précision de la simulation du champ des contraintes dans la modélisation de glaciers. Un modèle simple pour obtenir la contrainte effective dans la masse de glace d'un glacier est présenté et nous obtenons des résultats concluants en utilisant des patchs dans les régions où des changements dans les conditions de bord à la base sont impliqués.