Faculté des sciences et techniques de l'ingénieur STI, Section de génie électrique et électronique, Institut de traitement des signaux ITS (Laboratoire de traitement des signaux 2 LTS2)

## Wavelets on non-Euclidean manifolds

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2005 ; no 3409.

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Summary
This dissertation investigates wavelets as a multiscale tool on non-Euclidean manifolds. The growing importance of using non-Euclidean manifolds as a geometric model for data comes from the diversity of the data collected. In this work we mostly deal with the sphere and the hyperboloid. First, given the recent success of the continuous wavelet transform on the sphere a natural extension is to build discrete frames. Then, from a more theoretical perspective, having already wavelets on the sphere, which is a non-Euclidean manifold of constant positive curvature, it is interesting and even challenging to build and prove the existence of wavelets on its dual manifold-the hyperboloid as non-Euclidean manifold of constant negative curvature. This dissertation starts with detailing the construction of one- and two-dimensional Euclidean wavelets in both continuous and discrete versions. Next, it continues with details on the construction of wavelets on the sphere. In the three cases (line, plane and sphere) the group theoretical approach for constructing wavelets is used. We develop discrete wavelet frames on the sphere by discretizing the existing spherical continuous wavelet transform. First, half-continuous wavelet frames are derived. Second, we show that a controlled frame may be constructed in order to get an easy reconstruction of functions from their decomposition coefficients. Finally we completely discretize the continuous wavelet transform on the sphere and give examples of frame decomposition of spherical data. As a close parent of the wavelet transform we also implement the Laplacian Pyramid on the sphere. Another important part of this dissertation is dedicated to the hyperboloid. We build a total family of functions, in the space of square-integrable functions on the hyperboloid, by picking a probe with suitable localization properties, applying on it hyperbolic motions and supplemented by appropriate dilations. Based on a minimal set of axioms, we define appropriate dilations for the hyperbolic geometry. Then, the continuous wavelet transform on the hyperboloid is obtained by convolution of the scaled wavelets with the signal. This transform is proved to be a well-defined invertible map, provided the wavelets satisfy an admissibility condition. As a final part in this dissertation, we discuss one possible application of non-Euclidean wavelets – the processing of non-Euclidean images. This leads to implementing some other basic non-Euclidean image processing techniques, for example scale-space analysis and active contour, that we apply to catadioptric image processing.
Résumé
Cette dissertation étudie la transformée en ondelettes en tant que technique multirésolution sur des variétés non-Euclidiennes. L'importance grandissante de ces variétés comme modèle géométrique est motivée par la pluralité et la complexité de nouvelles formes de données. Dans ce travail, nous nous concentrons principalement sur la sphère et l'hyperboloïde. Tout d'abord, au vu des récents succès de la transformée continue en ondelettes sur la sphère, une extension naturelle consiste à construire des repères discrets associés. Un second problème, de nature plus théorique, consiste à étendre le formalisme sphérique au cas de la variété duale à la sphère: l'hyperboloïde de courbure constante négative. Notre travail démarre avec un exposé des transformées euclidiennes en dimension un et deux, dans leurs versions continues et discrètes. Ensuite, nous détaillons la construction des ondelettes sur la sphère. Dans ces trois cas, droite, plan et sphère, nous procédons au moyen de l'approche par théorie des groupes. Nous développons ensuite des repères sur la sphère en discrétisant la transformée continue. D'abord, nous introduisons les repères dits quasi-continus. Ensuite nous prouvons que ces repères peuvent être contrôlés par un opérateur borné et à inverse borné, ce qui nous permet de reconstruire aisément une fonction à partir de ses coefficients dans le repère. Enfin, nous procédons à une discrétisation complète et donnons des illustrations pratiques sur des signaux naturels. La pyramide laplacienne sur la sphère, un parent proche des ondelettes, est également discutée. Une autre partie importante de cette dissertation concerne l'hyperboloïde. Nous introduisons une nouvelle famille totale de fonctions dans l'espace des fonctions de carré intégrable sur cette variété en sélectionnant une forme génératrice à laquelle nous appliquons des rotations hyperboliques, supplémentées de dilatations spécialement définies. Ces dernières sont construites sur base d'un ensemble minimum d'axiomes adaptés à la géométrie hyperbolique. Ensuite nous définissons la transformée continue en ondelettes au moyen de la convolution entre un signal et la famille explicitée plus haut. Nous prouvons que cette transformée est bien définie et possède un inverse stable si la forme génératrice de départ satisfait une condition d'admissibilité. Dans la dernière partie de cette dissertation, nous discutons des applications des ondelettes à des images non-Euclidiennes. Ceci nous amène à introduire d'autres outils de traitement d'images sur des variétés, comme les notions d'espace-échelle et de contours actifs. Enfin nous montrons des applications pratiques aux images catadioptriques.