Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et de calcul scientifique IACS (Chaire de modélisation et calcul scientifique CMCS)

## One dimensional and multiscale models for blood flow circulation

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2004 ; no 3006.

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Summary
The aim of this work is to provide mathematically sound and computationally effective tools for the numerical simulation of the interaction between fluid and structures as occurring, for instance, in the simulation of the human cardiovascular system. This problem is global, in the sense that local changes can modify the solution far away. From the point of view of computing and modelling this calls for the use of multiscale methods, where simplified models are used to treat the global problem leaving to more accurate models the local description. Moreover it is characterised by the appearance of pressure waves inside the vessels. In large arteries the vessel wall dynamics can be described by a thin elastic membrane model (Navier equation) while the fluid motion can be represented by the Navier-Stokes equations for incompressible Newtonian fluids. Unfortunately, given the high levels of details furnished by this model, its computational complexity is dramatically high. Therefore reduced models have been developed. In particular, one-dimensional models, originally introduced by Euler, seem to be appropriate for the study in the time-space domain of pressure wave propagation induced by the interaction between the fluid and the vessel wall in the arterial tree. These reduced models are obtained after integrating the Navier-Stokes equations over a vessel section, supposed to be circular, and assuming an algebraic wall law to describe the relationship between pressure and wall deformation. They can be used in place of the more complex three dimensional fluid-structure models or in cooperation with them (multiscale approach). The first part of this work deals with one dimensional models. A reduced 1D model taken from literature is presented and analysed. Some extensions of the basic model, in particular with respect to vessel wall law (generalised string model) and more complex geometries (bifurcated and curved arteries), are also considered. Numerical schemes are proposed and some numerical results are presented. In the second part of this thesis we focus on a multiscale model. We consider a 55 arterial tree, described by the 1D model, coupled with lumped parameter models for heart and capillaries. In particular, specific attention has been devoted to the coupling between the left ventricle and the arterial system, whose physiopathological relevance is well known. This mathematical model gives good results in numerical tests and is able to describe the relevant features of the pressure wave propagation and reflections within the arterial system.
Riassunto
Riassunto L'obiettivo di questo lavoro è lo sviluppo di modelli e codici per la simulazione dell'interazione tra fluido e struttura, nell'ambito dello studio del sistema cardiovascolare umano. Questo problema è globale, nel senso che cambiamenti locali possono avere conseguenze in un qualsiasi punto del sistema cardiovascolare. Da un punto di vista modellistico si dovrà pertanto ricorrere all'uso di particolari tecniche conosciute con il nome di metodi multiscala: il problema globale è risolto utilizzando modelli elementari, mentre localmente sono usati modelli più accurati. Un'altra peculiarità di questo problema sono le onde di pressione che si propagano lungo le arterie. Nelle larghe arterie la dinamica della parete può essere descritta da una membrana (equazione di Navier) mentre il fluido può essere rappresentato con le equazioni di Navier-Stokes per i fluidi Newtoniani incomprimibili. Sfortunatamente, a fronte di un'alta capacità descrittiva, la complessità computazionale di questo modello è drammaticamente elevata. Per questo motivo sono stati sviluppati modelli ridotti. In particolare, i modelli monodimensionali, originariamente introdotti da Eulero nel 1844, appaiono indicati per la descrizione della propagazione delle onde di pressione indotte dall'interazione tra il fluido e la parete delle arterie. Questi modelli ridotti sono ottenuti integrando le equazioni di Navier-Stokes su una sezione supposta circolare e facendo l'ipotesi di una legge di parete algebrica. Essi possono essere usati sia al posto dei più complessi modelli tridimensionali di interazione fluido-struttura sia in cooperazione con loro (metodo multiscala). Nella prima parte di questo lavoro vengono trattati i modelli monodimensionali. Un modello ridotto 1D già presente in letteratura è illustrato ed analizzato. Alcune estensioni di questo modello basilare, in particolare rispetto alla legge di parete delle arterie (modello di stringa generalizzato) e a più complesse geometrie (biforcazioni e arterie curve), sono oltre-tutto considerate. Infine vengono presentati gli schemi numerici utilizzati per la risoluzione e alcuni risultati. La seconda parte della tesi è incentrata su un modello multiscala. Viene considerato un sistema di 55 arterie, descritte col modello monodimensionale, accoppiato con modelli a parametri ristretti per il cuore e i capillari. Vista la sua importanza fisiopatologica, un'attenzione particolare è stata rivolta all'interazione tra il ventricolo sinistro e il sistema arterioso. Il modello matematico presentato dà buoni risultati nei tests numerici ed è capace di riprodurre le caratteristiche principali della propagazione delle onde di pressione.