Faculté des sciences de base SB, Programme doctoral Mathématiques, Institut de mathématiques Bernoulli IMB (Chaire des structures algébriques et géométriques CSAG)

## Minimum euclidien des ordres maximaux dans les algèbres centrales à division

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2006 ; no 3717.

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Summary
This work concerns the study of Euclidean minima of maximal orders in central simple algebras. In the first part, we define the concept of ideal lattice in the non-commutative case. Let A be a semi-simple algebra over Q. An ideal lattice over A is a triple (I, α, τ) where I is an ideal of A, α is a unit in AR = A ⊗Q R fixed by τ and τ is a positive involution on AR, in other words, trAR/R(xαxτ) > 0 for all x ∈ IR. We study ideal lattices, especially their Hermite invariant, to link the concepts of Euclidean minimum of a maximal order and ideal lattices of the form (Λ, α, τ). Namely, we show that we can bound the Euclidean minimum of Λ by the Hermite invariant of the ideal lattices of Λ. This upper bound allows us to calculate the Euclidean minima of some infinite families of maximal orders, when A is a quaternion skew field over Q. In the second part, we look for other ways to find upper and lower bounds of the euclidean minimum of a maximal order in a quaternion skew field. This research leads us to an exhaustive list of euclidean quaternion skew fields over Q, and their euclidean minima. The quadratic case has also been studied but remains partially unsolved. At the end, we give bounds for Euclidean minima of some maximal orders of quaternion skew fields over cyclotomic fields.
Résumé
Ce travail est consacré à l'étude des minima euclidiens des ordres maximaux dans les algèbres centrales simples. Dans un premier temps, nous définissons la notion de réseau idéal dans un cadre non nécessairement commutatif. Soit A une algèbre semi-simple sur Q. Un réseau idéal sur A est un triple (I, α, τ) où I est un idéal de A, τ est une involution positive sur AR, autrement dit, vérifiant trAR/R(xαxτ) > 0 pour tout x ∈ IR et α est un élément inversible de AR = A ⊗Q R fixe par τ. Nous étudions ensuite les propriétés des réseaux idéaux, notamment les invariants d'Hermite, afin de lier la notion de minimum euclidien d'un ordre maximal Λ à celle des réseaux idéaux de la forme (Λ, α, τ). Explicitement, nous démontrons qu'il est possible de borner le minimum euclidien de Λ à l'aide des invariants d'Hermite associés aux réseaux idéaux de Λ. Cette borne nous permettra, entre autres, de calculer les minima euclidiens de plusieurs familles infinies d'ordres maximaux, dans le cas des corps de quaternions sur Q. Dans un deuxième temps, nous développons d'autres méthodes pour calculer ou borner, inférieurement et supérieurement, le minimum euclidien d'un ordre maximal d'un corps de quaternions. Ces méthodes nous permettent de donner une liste exhaustive des corps de quaternions euclidiens sur Q, ainsi que leur minimum euclidien. Les mêmes méthodes nous permettent de résoudre partiellement le cas des corps de quaternions sur un corps quadratique. Nous donnons, pour finir, des bornes des minima euclidiens de certains ordres maximaux de corps de quaternions sur un corps cyclotomique.