Faculté des sciences

Finite Abelian subgroups of the Cremona group of the plane

Blanc, Jérémy ; Ronga, Felice (Dir.) ; Vust, Thierry (Codir.)

Thèse de doctorat : Université de Genève, 2006 ; Sc. 3777.

Ce travail présente les classes de conjugaisons des sous-groupe abéliens finis du groupe de Cremona du plan. On se ramène, en utilisant une théorie bien connue, à l'étude de groupes d'automorphismes de surfaces de Del Pezzo et de fibrés en coniques. Il s'agit alors d'énumérer tous les cas, ce qui donne une longue description, puis de réussir à voir si les cas trouvés sont distincts ou... Plus

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    Résumé
    Ce travail présente les classes de conjugaisons des sous-groupe abéliens finis du groupe de Cremona du plan. On se ramène, en utilisant une théorie bien connue, à l'étude de groupes d'automorphismes de surfaces de Del Pezzo et de fibrés en coniques. Il s'agit alors d'énumérer tous les cas, ce qui donne une longue description, puis de réussir à voir si les cas trouvés sont distincts ou non, en utilisant des invariants de conjugaisons. Parmi ceux-ci, on utilise les courbes non-rationnelles fixées par un élément du groupe, ainsi que l'action du groupe en entier lui-même sur ceux-ci. De la classification, on déduit une série de résultats plus généraux sur les transformations birationnelles, comme l'existence d'une infinité de classes de conjugaisons d'élément d'ordre n, pour tout entier pair n, ce qui n'est pas vrai dans le cas impair.
    Summary
    This work presents the conjugacy classes of finite abelian subgroups of the Cremona group of the plane. Using a well-known theory, this problem amounts to the study of automorphism groups of some Del Pezzo surfaces and conic bundles. We have thus to enumerate all the cases, which gives a long description, and then to show whether two cases are distinct or not, using some conjugacy invariants. For example, we use the non-rational curves fixed by one element of the group, and the action of the whole group on these curves. From this classification, we deduce a sequence of more general results on birational transformations, as for example the existence of infinitely many conjugacy classes of elements of order n, for any even number n, a result false in the odd case. We prove also that a root of some linear transformation of finite order is itself conjugate to a linear transformation