Faculté des sciences

On the leaf spaces of singular holomorphic foliations and multiplicities on leaves

Morel, Denis ; Kaup, Burchard (Dir.) ; Holmann, Harald (Codir.) ; Reiffen, Hans-Jörg (Codir.)

Thèse de doctorat : Université de Fribourg, 2001 ; No 1331.

We study the leaf space X/F of regular or singular holomorphic foliations F on a complex manifold X. Using the theory of analytic cycles, we give certain solutions to the two following problems: First Leaf space problem Find sufficient conditions which imply that the leaf space of a foliation with leaves everywhere admits a canonical complex structure. Second Leaf space Problem What can be done... More

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    Résumé
    Nous nous intéressons à l’espace des feuilles X/F d’un feuilletage holomorphe F, qui peut être régulier ou avec singularités, sur une variété complexe X. Nous allons apporter des éléments de solution aux deux problèmes suivants à l’aide de la théorie des cycles analytiques, théorie introduite par Barlet: Premier problème Trouver des conditions suffisantes qui impliquent que, pour un feuilletage avec des feuilles partout, l’espace des feuilles est un espace complexe. Deuxième problème Que peut-on faire si le feuilletage n’a pas des feuilles partout, ou bien si il a des feuilles partout, mais l’espace des feuilles n’est pas un espace complexe ? Nous nous intéressons d’abord au premier problème, ceci dans le cas de feuilletages réguliers. Nous définissons la notion de multiplicité topologique µt(L) pour certaines feuilles L du feuilletage. Nous définissons ensuite une application ζF :G(F) → Zd(X), où G(F) est l’ensemble des feuilles dont la multiplicité topologique est bien définie et Zd(X) est l’espace topologique des cycles analytiques de dimension d (d est la dimension du feuilletage) muni de la topologie de Barlet. Cette application associe à chaque point x ∈ G(F) le cycle µt(Lx)Lx. Nous démontrons dans le théorème 6.1.1 les équivalences suivantes: X/F est un espace complexe ⇐⇒ G(F) = X et ζF est continue ⇐⇒ Il existe une application continue et F-saturée ϕ:X → Zd(X) telle que pour tout x le support de ϕ(x) est Lx. ⇐⇒ L’application canonique X → Zd(X) qui associe à chaque x la feuille qui passe par x est continue (Zd(X) est l’ensemble des sous-ensembles analytiques de dimension d de X muni de la topologie appelée topologie de Barlet qui est définie dans §4.4). Dans le théorème 6.2.1, nous généralisons ce résultat pour certains feuilletages holomorphes singuliers avec des feuilles partout. Nous expliquons ensuite comment l’espace des feuilles peut être interprété comme sous-espace de Zd(X). Nous terminons cette partie en utilisant un exemple d’Hirzebruch pour illustrer le théorème 6.1.1. Dans la dernière partie, nous donnons une solution partielle du deuxième problème pour un type particulier de feuillages. Nous considérons les feuilletages F qui sont holomorphes réguliers ou avec singularités et pour lesquels il existe un sous-ensemble ouvert, dense et F-saturé C de X tel que C/F est un espace complexe. Sous certaines conditions, nous construisons pour ces feuilletages une généralisation de l’espace des feuilles: l’espace des feuilles méromorphes Z(F). Dans une première étape, nous associons à chaque feuilletage du type ci-dessus une relation d’équivalence méromorphe MF. Nous utilisons ensuite la théorie des relations d’équivalence méromorphes de Grauert et de Siebert pour définir Z(F) comme étant le quotient méromorphe de X par MF. Le théorème de Grauert-Siebert sur les relations d’équivalence méromorphes nous permet de donner une condition qui implique que Z(F) admet une structure complexe canonique (voir le théorème 7.2.5). Nous donnons d’autres caractérisations de Z(F) pour des cas particuliers. Nous concluons en illustrant la théorie par quelques exemples classiques qui montrent quelques phénomènes qui peuvent apparaître.
    Summary
    We study the leaf space X/F of regular or singular holomorphic foliations F on a complex manifold X. Using the theory of analytic cycles, we give certain solutions to the two following problems: First Leaf space problem Find sufficient conditions which imply that the leaf space of a foliation with leaves everywhere admits a canonical complex structure. Second Leaf space Problem What can be done if F does not have leaves everywhere, or if it has leaves everywhere but X/F is not a complex space? First we study the First Leaf space problem for regular foliations. We define the notion of the topological multiplicity µt(L) for some leaves L of the foliation. Then we define a mapping ζF :G(F) → Zd(X). Here G(F) is the set of those leaves for which the topological multiplicity is well-defined and Zd(X) is the space of the analytic cycles of dimension d (d is the dimension of the foliation) with the topology of Barlet. More precisely, ζF associates to each x ∈ G(F) the cycle µt(Lx)Lx. In theorem 6.1.1 we prove the following equivalences: X/F is a complex space ⇐⇒ G(F) = X and ζF is continuous ⇐⇒ There exists a continuous and F-invariant mapping ϕ:X → Zd(X) such that for each x ∈ X, the support of ϕ(x) is equal to Lx. ⇐⇒ The canonical mapping X → Zd(X) that associates to each x the leaf passing through x is continuous ( Zd(X) is the set of d-dimensional analytic subsets of X; the topology of Zd(X) is the Barlet topology defined in §4.4). In theorem 6.2.1 we generalize this result for certain singular holomorphic foliations that have leaves everywhere. Then we explain how the leaf space can be interpreted as a subspace of Zd(X). Finally, we use an example of Hirzebruch to illustrate theorem 6.1.1. In the last part we give a partial solution of the second problem for a particular type of foliations. We consider regular or singular holomorphic foliations for which there exists an open, dense and F-saturated subset C of X such that C/F is a complex space. Under certain conditions on such foliations we construct a generalisation of the leaf space: the meromorphic leaf space Z(F). In a first step, we associate a meromorphic equivalence relation MF to each foliation F of the above type. Then we use the theory of Grauert and Siebert on meromorphic equivalence relations to define Z(F) as the meromorphic quotient of MF. Using the theorem of Grauert-Siebert on meromorphic equivalence relations, we find a condition which implies that Z(F) has a complex structure (see theorem 7.2.5). In particular cases, we give other characterisations of Z(F). We conclude with some examples that illustrate some phenomena which can appear.