Faculté des sciences

Barycentre sur le bord de SL(3, R)/SO(3, R)

Dewarrat, Rodolphe ; Ruh, Ernst (Dir.) ; Auderset, Claude (Codir.) ; Schröder, Viktor (Codir.)

Thèse de doctorat : Université de Fribourg, 2000 ; No 1313.

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    Zusammenfassung
    1995 wiederholten Besson, Courtois und Gallot [BCG] den Beweis eines bekannten Satzes, nämlich, dass jedes positive Mass µ auf dem Rand M(∞) eines lokal symmetrischen Raumes M vom Rang 1 einen Schwerpunkt p innerhalb des Raumes besitzt, der als Lösung p der Gleichung: beschrieben werden kann, wobei Bθ die Busemann Funktion für θ ∈ M(∞) ist. Wenn der Rang höher ist, ist es klar, dass der Schwerpunkt nicht immer existieren kann, weil er zum Beispiel auf euklidischen Untermannigfaltigkeiten, der sogenannten Flachs, nicht existiert. Nach der präzisen Definition des Schwerpunktes im Kapitel 3 folgt im Kapitel 4 die Definition des Cauchy Randes C, als einen Teil des üblichen Randes von SL(3,R)/SO(3,R), auf dem wir einen Schwerpunkt erwarten können. Im Kapitel 4 wird die Existenz und Eindeutigkeit des Schwerpunktes für ein diskretes Mass, das heisst für eine endliche Menge von Punkten auf dem Cauchy Rand von SL(3,R)/SO(3,R) bewiesen. Dazu muss noch eine schwache zusätzliche Bedingung hinzugefügt werden: Wenn im Fall von Rang 1 symmetrischen Räumen einen diskreten Mass betrachtet wird, so muss verlangt werden, dass mindestens drei Punkte vorhanden sind. Diese Bedingung ist auf dem Fall höheren Ranges zu verallgemeinern. Punkte die diese Bedingung erfüllen werden dann gut verteilte Punkte genannt. Im Kapitel 6 wird ein Algorithmus beschrieben, um diesen Schwerpunkt zu rechnen. Ein Programm wird in den Fällen M = H2 und M = SL(3,R)/SO(3,R) gegeben, und ein Paar Beispiele vorgestellt. Eine mögliche Beziehung zur Statistik wird im Kapitel 7 vorgeschlagen; es wird eine Beziehung zwischen dem Schwerpunkt einer Familie von Punkten in R bzw. R2 und ihrem Schätzer in der Familie der Cauchy Verteilungen aufgezeigt.
    Summary
    In 1995, Besson, Courtois and Gallot [BCG] repeated the proof of a theorem that stated that any positive measure µ on the boundary M(∞) of a locally symmetric space M with rank 1 admits a unique center of mass as the solution of the equation: where Bθ is the Busemann function for θ ∈ M(∞). In the higher rank case it is obvious that the center of mass does not exist anymore. As an example we know that the center of mass on an Euclidean manifold, called a flat, does not exist. After the precise definition of the center of mass in chapter 3 the Cauchy boundary C is defined in chapter 4. The Cauchy boundary is a part of the usual boundary of SL(3,R)/SO(3,R) on which we can try to prove the existence of a center of mass: The existence and uniqueness of the center of mass for a discrete measure, that means for points, on the Cauchy boundary of SL(3,R)/SO(3,R) is given in chapter 5. We must add a slight restriction: If we consider a discrete measure on a rank 1 symmetric space we must have at least three points. In the higher rank case we generalize somewhat this condition. Points that satisfy this condition are called well-spread points. In chapter 6 there is an algorithm to compute that center of mass. The code is given for the cases where M = H2 and M = SL(3,R)/SO(3,R), as well as a list of examples. Some possible relation to statistics is given in chapter 7. More precisely we relate the center of mass of a family of points in R resp. R2 to an estimator in the family of Cauchy densities.