Faculté des sciences

Analyse mathématique de la compétition entre les axones des neurones des ganglions sensitifs pour l'innervation d'une région de la peau

Kohli, Raymond ; Gabriel, Jean-Pierre (Dir.) ; Clarke, Peter (Codir.) ; Zwahlen, Bruno (Codir.)

Thèse de doctorat : Université de Fribourg, 2001 ; no 1334.

Many neurons and axons are eliminated during the development of the nervous system. These cells and their connections are thus overproduced, and the organism has to destroy the surplus in order to function correctly. A major mechanism responsible for this elimination appears to be competition between cells for a substance necessary for their survival. To examine this hypothesis, the present work... More

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    Résumé
    Beaucoup de neurones et d’axones sont éliminés lors du développement du système nerveux. Ces cellules et leurs connexions sont en effet produites en surnombre et l’organisme est contraint à la destruction du surplus pour assurer son bon fonctionnement. Le mécanisme important assurant cette élimination semble être celui d’une compétition entre cellules pour l’appropriation d’une substance nécessaire à leur survie (un facteur neurotrophique). Pour discuter cette hypothèse, le présent travail propose un modèle mathématique d’un tel processus appliqué au cas particulier de l’innervation de la peau. Le premier chapitre contient un rappel des notions concernant la stabilité des systèmes dynamiques et en particulier le théorème de LaSalle qui sera utilisé ultérieurement. Le second chapitre expose les aspects historiques de la notion de compétition ainsi que plusieurs de ses représentations mathématiques. Il contient une exposition de modèles du chemostat et de celui de Jeanprêtre sur lesquels reposent la présente approche. Dans le chapitre trois, le lecteur trouvera les notions biologiques nécessaires à la modélisation du phénomène. Le chapitre suivant est consacré à l’élaboration du modèle mathématique. Un des points délicats est celui du choix des grandeurs quantitatives, par exemple le nombre initial de récepteurs de facteur neurotrophique par axone, qui permettent la description quantitative du processus étudié. Une fois le modèle établi, le problème devient essentiellement mathématique. Il s’agit en effet de discuter les équilibres et le comportement asymptotique des solutions d’un système non linéaire d’équations différentielles ordinaires dans un espace dont la dimension dépend du nombre d’axones considérés. Cette discussion, qui repose sur une fonction de Lyapunov, fait l’objet du chapitre cinq. Les résultats obtenus sont ensuite illustrés graphiquement à l’aide de résolutions numériques pour des valeurs de paramètres conformes à la situation phénoménologique. Le travail s’achève par une discussion critique du modèle proposé et envisage quelques voies possibles pour une recherche ultérieure.
    Summary
    Many neurons and axons are eliminated during the development of the nervous system. These cells and their connections are thus overproduced, and the organism has to destroy the surplus in order to function correctly. A major mechanism responsible for this elimination appears to be competition between cells for a substance necessary for their survival. To examine this hypothesis, the present work proposes a mathematical model of such a process as applied to the particular case of skin innervation. The first chapter recalls some notions of the theory of the stability of dynamical systems and in particular the theorem of LaSalle, which will be used subsequently. The second chapter sets out flic historical aspects of the notion of competition and several of its mathematical representations. It contains an exposition of the chemostat model and of Jeanprêtre’s model, on both of which the present approach depends. In chapter 3, the reader will find the biological facts and ideas necessary for modelling the phenomenon. The following chapter is devoted to the elaboration of the mathematical model. One of the difficult points is flic choice of quantitative values, for example the initial number of neurotrophic factor receptors per axon, which permit the process to be studied quantitatively. Once the model has been established, flic problem becomes essentially mathematical. It is a matter of discussing the equilibria and the asymptotic behaviour of the solutions of a system of nonlinear ordinary differential equations in a space whose dimension depends on the number of axons considered. This discussion, which is based on a Lyapunov function, is the subject of chapter 5. The results obtained are then illustrated graphically with the help of numerical solutions using biologically appropriate parameter values. The work finishes with a critical discussion of the proposed model and some suggestions for further research.