Faculté des sciences de base SB, Section de physique, Institut de théories des phénomènes physiques ITP

Aspects of two dimensional magnetic Schrödinger operatorsquantum hall systems and magnetic Stark resonances

Ferrari, Christian ; Martin, Philippe-André (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2003 ; no 2769.

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    Summary
    In this PhD thesis we deal with two mathematical problems arising from quantum mechanics. We consider a spinless non relativistic quantum particle whose configuration space is a two dimensional surface S. We also suppose that the particle feels the effect of an homogeneous magnetic field perpendicular to the surface S. In the first case S = R × SL1, the infinite cylinder of circumference L, corresponding to periodic boundary conditions, while in the second one S = R2. In both cases the particle feels the effect of an additional suitable potential. We are thus left with the study of two specific classes of Schrödinger operators. The operator of the first class generates the dynamics of the particle when it is submitted to an Anderson-type random potential, as well as to a non random potential confining the particle along the cylinder axis in an interval of length L. In this case we describe the spectrum and classify it by the quantum mechanical current carried by the corresponding eigenfunctions. We prove that there are spectral regions in which all the eigenvalues have an order one current with respect to L, and spectral regions where eigenvalues with order one current and eigenvalues with infinitesimal current with respect to L are intermixed. These results are relevant for the theory of the integer quantum Hall effect. The second Schrödinger operator class corresponds to the physical situation where the potential is the sum of a "local" potential and of a potential due to a weak constant electric field F. In this case we show that the resonant states, induced by the electric field, decay exponentially at a rate given by the imaginary part of the eigenvalues of some non self-adjoint operator. Moreover we prove an upper bound on this imaginary part that turns out to be of order exp(-1/F2) as F goes to zero. Therefore the lifetime of the resonant states is at least of order exp(-1/F2).
    Résumé
    Cette thèse de doctorat concerne deux problèmes mathématiques issus de la mécanique quantique. On considère une particule quantique, non relativiste et sans spin, astreinte à se mouvoir sur une surface bidimensionnelle S, plongée dans un champ magnétique homogène qui lui est perpendiculaire. Dans un premier problème, S = R × SL1, qui est un cylindre infini de circonférence L, ce qui correspond à des conditions aux bords périodiques. Dans le deuxième cas, S = R2. En fonction du problème étudié, on ajoute un potentiel convenable. On est ainsi amené à étudier deux opérateurs de Schrödinger. Le premier opérateur analysé génère la dynamique d'une particule soumise à un potentiel aléatoire de type Anderson ainsi qu'un potentiel non aléatoire dont le but est de confiner la particule le long de l'axe du cylindre, sur une longueur L. Dans ce cas, on localise le spectre et on le classifie par le courant quantique porté par les fonctions propres correspondantes. On montre qu'il y a des régions spectrales où n'existent que des valeurs propres avec courant d'ordre un par rapport à L, et des régions spectrales où sont mélangées valeurs propres avec courant d'ordre un et valeurs propres avec courant infinitésimal par rapport à L. Ces resultats ont un intérêt physique dans le cadre de l'effect Hall entier. Le deuxième opérateur de Schrödinger étudié, correspond à la situation physique où le potentiel est donné par la somme d'un potentiel "local" et d'un potentiel dû à un petit champ électrique F constant. Dans ce cas on montre que les états résonants induits par le champ électrique décroissent exponentiellement avec un taux donné par la partie imaginaire des valeurs propres d'un certain opérateur non auto-adjoint. On montre de plus que cette partie imaginaire possède une borne supérieure de l'ordre de exp(-1/F2), pour F tendant vers zéro. Ainsi, le temps de vie de l'état résonant en question est au moins de l'ordre de exp(-1/F2).
    Riassunto
    Riassunto In questo lavoro di dottorato studiamo due problemi matematici derivanti dalla meccanica quantistica. Consideriamo una particella quantica, senza spin e non relativista, che si muove su di una superficie bidimesionale S. In un primo problema S = R × SL1 (il cilindro infinito di circonferenza L, ciò che induce delle condizioni al bordo periodiche), mentre nel secondo caso S = R2 (il piano infinito). La particella subisce pure l'influsso di un campo magnetico omogeneo, perpendicolare alla superficie S. In entrambi i casi essa è pure sottomessa all'effetto di un potenziale esterno appropriato. Dobbiamo quindi studiare due operatori di Schrödinger particolari. Il primo operatore considerato genera la dinamica di una particella sottomessa ad un potenziale aleaotorio di tipo Anderson, ed un potenziale deterministico confinante la particella, lungo l'asse del cilindro, su una lunghezza L. In questo caso si localizza lo spettro, che viene poi classificato via la corrente quantomeccanica portata dalle rispettive autofunzioni. Dimostriamo che esistono delle regioni spettrali dove tutte gli autovalori hanno una corrente di ordine uno rispetto ad L, come pure regioni spettrali dove sono mescolati autovalori con corrente di ordine uno e autovalori con corrente infinitesimale rispetto ad L. Questi risultati hanno un'importanza nel quadro dell'effetto Hall quantistico. Il secondo operatore di Schrödinger studiato, corrisponde alla situazione fisica in cui il potenziale è dato dalla somma di un potenziale "locale" e di un potenziale dovuto ad un piccolo campo elettrico costante F. In questo caso dimostriamo che gli stati risonanti indotti dal campo eletrico decandono esponenzialmente, con un tasso di decrescita dato dalla parte immaginaria degli autovalori di un certo operatore non auto-aggiunto. Dimostriamo poi un limite superiore, per questa parte immaginaria, dell'ordine di exp(-1/F2) per i valori di F che tendono a zero. Dunque il tempo di vita di questi stati risonanti è almeno dell'ordine di exp(-1/F2).