Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut de mathématiques Bernoulli IMB

Algebraic methods for channel coding

Oggier, Frédérique ; Bayer Fluckiger, Eva (Dir.) ; Urbanke, Rüdiger (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2005 ; no 3182.

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    Summary
    This work is dedicated to developing algebraic methods for channel coding. Its goal is to show that in different contexts, namely single-antenna Rayleigh fading channels, coherent and non-coherent MIMO channels, algebraic techniques can provide useful tools for building efficient coding schemes. Rotated lattice signal constellations have been proposed as an alternative for transmission over the single-antenna Rayleigh fading channel. It has been shown that the performance of such modulation schemes essentially depends on two design parameters: the modulation diversity and the minimum product distance. Algebraic lattices, i.e., lattices constructed by the canonical embedding of an algebraic number field, or more precisely ideal lattices, provide an efficient tool for designing such codes, since the design criteria are related to properties of the underlying number field: the maximal diversity is guaranteed when using totally real number fields and the minimum product distance is optimized by considering fields with small discriminant. Furthermore, both shaping and labelling constraints are taken care of by constructing Zn-lattices. We present here the construction of several families of such n-dimensional lattices for any n, and compute their performance. We then give an upper bound on their minimal product distance, and show that with respect to this bound, existing lattice codes are optimal in the sense that no further significant coding gain could be reached. Cyclic division algebras have been introduced recently in the context of coherent Space-Time coding. These are non-commutative algebras which naturally yield families of invertible matrices, or in other words, linear codes that fulfill the rank criterion. In this work, we further exploit the algebraic structures of cyclic algebras to build Space-Time Block codes (STBCs) that satisfy the following properties: they have full rate, full diversity, non-vanishing constant minimum determinant for increasing spectral efficiency, uniform average transmitted energy per antenna and good shaping. We give algebraic constructions of such STBCs for 2, 3, 4 and 6 antennas and show that these are the only cases where they exist. We finally consider the problem of designing Space-Time codes in the noncoherent case. The goal is to construct maximal diversity Space-Time codewords, subject to a fixed constellation constraint. Using an interpretation of the noncoherent coding problem in terms of packing subspaces according to a given metric, we consider the construction of non-intersecting subspaces on finite alphabets. Techniques used here mainly derive from finite projective geometry.
    Résumé
    Ce travail est consacré au développement de méthodes algébriques pour le codage de canal. Son objectif est de montrer que dans différents contextes, à savoir les canaux à évanouissement de Rayleigh pour une antenne et les canaux à antennes multiples pour les cas cohérent et non-cohérent, des méthodes algébriques peuvent fournir des outils efficaces pour la construction de codes. Des constellations de signaux formées à partir de réseaux tournés ont été proposées comme alternative pour la transmission sur des canaux à évanouissement de Rayleigh pour une antenne. Il a été montré que la performance de tels schémas de modulation dépend essentiellement de deux paramètres: la diversité en modulation et la distance produit minimale. Les réseaux algébriques, i.e., les réseaux construits par plongement d'un corps de nombres, ou plus précisément les réseaux idéaux, s'avèrent être un outil adapté, puisque les critères de performance peuvent être exprimés en terme de propriétés du corps de nombres sous-jacent: la diversité maximale est garantie lorsque l'on considère des corps totalement réels, alors que la distance produit minimale peut être optimisée en considérant des corps de petit discriminant. De plus, les contraintes de forme de la constellation ainsi que son étiquetage sont pris en compte en construisant des réseaux Zn. Nous présentons ici la construction de plusieurs familles de tels réseaux n-dimensionels pour tout n, et calculons leur performance. Nous donnons ensuite une borne supérieure à la distance produit minimale, et montrons que par rapport à cette borne, les codes en réseaux existants sont optimaux, dans le sens qu'il n'est pas possible d'obtenir de gain de codage significatif. Les algèbres cycliques à division ont été introduites récemment dans le cadre du codage spatio-temporel cohérent. Ces dernières sont des algèbres non-commutatives qui fournissent naturellement des familles de matrices inversibles, ou en d'autres mots, des codes linéaires qui satisfont le critère du rang. Dans ce travail, nous exploitons les structures algébriques des algèbres cycliques pour construire des codes spatio-temporels qui possèdent les propriétés suivantes: ils ont un débit maximal, une diversité maximale, un déterminant minimum constant qui ne diminue pas lorsque l'efficacité spectrale augmente, une énergie moyenne transmise par antenne qui est uniforme et finalement aucune perte de forme. Nous présentons des constructions algébriques de tels codes pour 2, 3, 4 et 6 antennes et montrons que ces dimensions sont les seules qui existent. Nous considérons finalement le problème du codage spatio-temporel dans le cas non-cohérent. Le but est de construire des codes spatio-temporels ayant diversité maximale, et sujets à une contrainte sur la constellation de signaux utilisée. En utilisant l'interprétation du codage dans le cas non-cohérent en terme d'empilement de sous-espaces en fonction d'une certaine métrique, nous considérons la construction de sous-espaces qui ne s'intersectent pas sous la contrainte d'un alphabet fini. Les techniques utilisées ici découlent principalement de géométrie projective finie.