Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et de calcul scientifique IACS (Chaire de modélisation et calcul scientifique CMCS)

Numerical analysis of axisymmetric flows and methods for fluid-structure interaction arising in blood flow simulation

Deparis, Simone ; Quarteroni, Alfio (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2004 ; no 2965.

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    Summary
    In this thesis we propose and analyze the numerical methods for the approximation of axisymmetric flows as well as algorithms suitable for the solution of fluid-structure interaction problems. Our investigation is aimed at, but are not restricted to, the simulation of the blood flow dynamics. The first part of this work deals with an axisymmetric fluid model based on three-dimensional incompressible Stokes or Navier–Stokes equations which are solved on a two-dimensional half-section of the domain under consideration. In particular we show optimal a priori error estimates for P1isoP2/P1 axisymmetric finite elements for the steady Stokes equations under the assumption that the domain and the data are axisymmetric and that the data have no angular component. Our analysis is carried out in the framework of weighted Sobolev spaces and takes advantage of a suitably defined Cl´ement type projection operator. We then introduce an axisymmetric formulation of the Navier–Stokes equations in moving domains and, starting from existing results in three-dimensions, we set up an Arbitrary Lagrangian–Eulerian (ALE) formulation and prove some stability results. In the second part, we deal with algorithms for the solution of fluid-structure interaction problems. We introduce the problem in a generic form where the fluid is described by means of incompressible Navier–Stokes equations and the structure by a viscoelastic model. We account for large deformations of the structure and we show how existing algorithms may be improved to reduce the computational time. In particular we show how to use transpiration boundary conditions to approximate the fluid-structure problem in a fixed point strategy. Moreover, in a quasi-Newton strategy we reduce the cost by replacing the Jacobian with inexact Jacobians stemming from reduced physical models for the problem at hand. To speed up the convergence of the Newton algorithm, we also define a dynamic preconditioner and an acceleration scheme which have been successfully tested in haemodynamics simulations in two and three dimensions.
    Riassunto
    Riassunto Gli obiettivi di questa tesi sono l'analisi numerica di flussi assialsimmetrici e la descrizione di algoritmi adatti alla risoluzione di problemi di interazione fluido-struttura. Questo lavoro è motivato dalla simulazione di flussi emodinamici, ma presenta carattere di generalità. La prima parte di questo lavoro si concentra su un modello per flussi incomprimibili tridimensionali basato sulla formulazione assialsimmetrica delle equazioni di Stokes o Navier-Stokes; il dominio di calcolo e il campo vettoriale della velocità si riducono a due dimensioni. In particolare si mostrano stime a priori ottimali per elementi finiti assialsimmetrici P1isoP2/P1 per le equazioni di Stokes, ipotizzando che il dominio e i dati siano assialsimmetrici e che i dati abbiano componente angolare nulla. Questa analisi utilizza spazi di Sobolev pesati e un operatore di proiezione di tipo Clément. In seguito si introducono una formulazione assialsimmetrica delle equazioni di Navier– Stokes in domini mobili. Partendo da risultati esistenti in tre dimensioni, si deducono una formulazione Lagrangiana-Euleriana arbitraria (ALE) e risultati di stabilità. Nella seconda parte ci si occupa di algoritmi per la soluzione di problemi di interazione fluido-struttura. Il problema è introdotto in una forma generale con equazioni di Navier-Stokes incomprimibili per il fluido e un modello viscoelastico per la struttura. Si tiene conto di deformazioni della struttura relativamente grandi e si mostra come estendere algoritmi esistenti al fine di ridurre il tempo computazionale. In primo luogo, si mostra come condizioni al contorno di traspirazione possano essere utilizzate in una strategia di punto fisso. In secondo luogo, come ridurre il tempo di calcolo utilizzando un algoritmo di Newton con approssimazioni della matrice jacobiana basate su modelli fisici semplificati. Inoltre, per accelerare l'algoritmo di Newton vengono proposti un precondizionatore dinamico per la risoluzione della matrice jacobiana e uno schema di accelerazione; entrambi sono stati testati in simulazioni di flussi emodinamici in due e tre dimensioni.