Faculté des sciences de base SB, Section de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse et de simulation numérique ASN)

Analysis and numerical simulation of free surface flows

Caboussat, Alexandre ; Rappaz, Jacques (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2003 ; no 2893.

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    Summary
    Mathematical and numerical aspects of free surface flows are investigated. On one hand, the mathematical analysis of some free surface flows is considered. A model problem in one space dimension is first investigated. The Burgers equation with diffusion has to be solved on a space interval with one free extremity. This extremity is unknown and moves in time. An ordinary differential equation for the position of the free extremity of the interval is added in order to close the mathematical problem. Local existence in time and uniqueness results are proved for the problem with given domain, then for the free surface problem. A priori and a posteriori error estimates are obtained for the semi-discretization in space. The stability and the convergence of an Eulerian time splitting scheme are investigated. The same methodology is then used to study free surface flows in two space dimensions. The incompressible unsteady Navier-Stokes equations with Neumann boundary conditions on the whole boundary are considered. The whole boundary is assumed to be the free surface. An additional equation is used to describe the moving domain. Local existence in time and uniqueness results are obtained. On the other hand, a model for free surface flows in two and three space dimensions is investigated. The liquid is assumed to be surrounded by a compressible gas. The incompressible unsteady Navier-Stokes equations are assumed to hold in the liquid region. A volume-of-fluid method is used to describe the motion of the liquid domain. The velocity in the gas is disregarded and the pressure is computed by the ideal gas law in each gas bubble trapped by the liquid. A numbering algorithm is presented to recognize the bubbles of gas. Gas pressure is applied as a normal force on the liquid-gas interface. Surface tension effects are also taken into account for the simulation of bubbles or droplets flows. A method for the computation of the curvature is presented. Convergence and accuracy of the approximation of the curvature are discussed. A time splitting scheme is used to decouple the various physical phenomena. Numerical simulations are made in the frame of mould filling to show that the influence of gas on the free surface cannot be neglected. Curvature-driven flows are also considered.
    Résumé
    Nous nous intéressons à quelques aspects mathématiques et numériques liés à des problèmes de fluides à surface libre. Dans la première partie de cette thèse, quelques problèmes mathématiques sont traités, à commencer par un problème simplifié à une dimension d'espace. Ce problème est l'équation de Burgers avec diffusion sur un intervalle en espace dont une extrémité est inconnue et dépend du temps. Une équation différentielle décrivant le déplacement de l'extrémité libre permet de fermer le problème mathématique. Nous démontrons un résultat d'existence et d'unicité locale en temps avant d'étudier une semi-discrétisation en espace. Nous discutons la stabilité et la convergence d'un schéma numérique à pas fractionnaires. La démarche adoptée est identique pour résoudre un problème à frontière libre à deux dimensions d'espace. Les équations de Navier-Stokes incompressibles avec conditions de bords de type Neumann sont résolues dans le domaine liquide. La surface libre est constituée par la totalité du bord du domaine liquide. Une équation supplémentaire permet de décrire l'évolution du domaine liquide. Nous obtenons un résultat d'existence et d'unicité locale en temps pour ce problème. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous proposons une méthode numérique pour la résolution d'écoulements de fluides à surface libre à deux et trois dimensions d'espace. Nous considérons un liquide se déplaçant dans une cavité remplie de gaz compressible. Les équations régissant le comportement de la vitesse et la pression dans le liquide sont les équations de Navier-Stokes évolutives incompressibles. La fonction caractéristique du domaine liquide satisfait une équation de transport. La vitesse dans le gaz est négligée et la pression à l'intérieur de chacune des bulles de gaz enfermées dans le liquide est calculée en utilisant la loi des gaz parfaits. Un algorithme permettant de numéroter les bulles de gaz est présenté. La pression dans le gaz induit une force normale sur la surface libre. Les effets de tension de surface sont également pris en compte et nous présentons une méthode pour le calcul de la courbure de l'interface entre le liquide et le gaz. Un algorithme à pas fractionnaires est utilisé pour découpler les différents phénomènes physiques. Des simulations numériques de fluides à frontière libre sont proposées dans le cadre de processus de coulée en moule ainsi que pour des problèmes dominés par les effets de tension de surface.