Faculté de l'environnement naturel, architectural et construit ENAC, Section de génie civil, Institut de structures IS (Laboratoire de mécanique des structures et milieux continus LSC)

## Nonlocal plasticity models for localized failure

### Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2003 ; no 2887.

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Summary
In quasi-brittle materials such as concrete, failure is preceded by highly localized deformation patterns. Localized failure is caused by strain softening, which cannot be described by classical local models, because they lack a length scale. Mathematically, the use of such models leads to ill-posed boundary value problems. If properly formulated, nonlocal models can provide a sound description of strain softening and model the complete failure process of quasi-brittle materials. A bifurcation analysis is performed for a number of nonlocal plasticity models of the gradient and integral type, and the load-displacement response up to complete failure is computed. The nonlocal models are constructed mainly as enhancements of the standard smallstrain, rate-independent, isotropic local plasticity model. Most nonlocal models respond in a physically appropriate manner at initial bifurcation, but for some models, the plastic zone widens at later stages of the loading process, and stresses remain at a spuriously high level. For the integral format of two nonlocal models selected for further development, the VermeerBrinkgreve model and the ductile damage model, the bifurcation analysis is extended to hardening and the two-dimensional, plane strain setting. For both models, the enhancement is based on a modified hardening law, which depends in a specific way on the local hardening variable and its nonlocal counterpart. The analysis determines the range of material parameters for which the solution is regular and provides an analytical expression for the initial distribution of the rate of plastic strain. The use of the Vermeer-Brinkgreve model is restricted to softening, while the ductile damage model can be used for hardening and softening. An efficient and robust iterative numerical algorithm for the stress return of integral-type nonlocal models that use the local and nonlocal hardening variable in the yield function is developed and implemented. Due to weighted averaging, the stress return is a coupled nonlinear complementarity problem. It is solved by a Jacobi-like iterative technique, derived in a rigorous manner for a special case and generalized based on a physical interpretation of the resulting equations. In view of the numerical modeling of concrete, the nonlocal enhancement is applied to plasticity models with pressure-dependent yield functions and non-associated flow rules. Simulations of laboratory tests demonstrate that the nonlocal model regularizes localization due to softening and non-associated plastic flow. Neither the load-displacement response nor the propagation of the process zone depend in a spurious manner on the computational grid. For eccentric compression of a prismatic column under plane strain conditions, the trend for the size effect on structural strength and post-peak response is correctly predicted.
Résumé
La rupture des matériaux quasi-fragiles comme le béton est précédée de déformations fortement localisées. La cause de cette localisation est l'adoucissement. Celui-ci ne peut pas être décrit par des modèles locaux classiques, car ils ne contiennent pas de longueur interne. Appliqués à l'adoucissement, ces modèles mènent à des problèmes mathématiquement mal posés. Par contre, le choix des modèles non locaux permet de décrire d'une manière rigoureuse l'adoucissement et la désintégration complète des matériaux quasi-fragiles. Les solutions de bifurcation possible sont étudiées pour un grand nombre de modèles non locaux, et la réponse force-déplacement est calculée numériquement jusqu'à la rupture. Les modèles non locaux sont conçus comme extensions de la plasticité classique isotrope pour petites déformations et indépendante du temps. Pour la plupart des modèles, on démontre un comportement physiquement réaliste à la bifurcation initiale, mais pour certains d'entr'eux, la taille de la zone plastique grandit par la suite et les contraintes restent trop élevées. Pour deux modèles selectionnés, les formulations de type intégral du modèle de Vermeer & Brinkgreve et du modèle d'endommagement ductile, l'analyse de bifurcation est étendue au cas de l'écrouissage et de la déformation plane. Les deux modèles utilisent un critère de plasticité qui dépend d'une manière spécifique de la variable d'écrouissage et sa valeur non locale. La variable d'écrouissage non locale, obtenue par intégration spatiale pondérée, introduit une longueur interne. L'analyse donne une expression analytique pour la taille initiale de la zone plastique ainsi que la gamme de paramètres pour laquelle la solution est régulière. Le modèle de Vermeer & Brinkgreve est restreint essentiellement à l'adoucissement, tandis que le modèle d'endommagement ductile s'utilise pour l'adoucissement et l'écrouissage. Un algorithme numérique efficace et stable est développé et mis en oeuvre pour des modèles non locaux du type intégral qui utilisent la variable d'écrouissage et sa valeur non locale dans le critère de plasticité. L'intégration pondérée de la variable d'écrouissage fait que le retour à la surface de plasticité est un problème complémentaire non linéaire couplé. Ce système est résolu par une méthode itérative du type Jacobi, laquelle est construite d'une manière rigoureuse pour un cas spécifique avant d'être généralisée de par l'interprétation physique du résultat. Dans le but de modéliser le béton, la formulation non locale est appliquée à des modèles de plasticité non associés dont le critère de plasticité dépend de la pression. Des simulations d'essais de laboratoire démontrent que les modèles non locaux régularisent la localisation due à l'adoucissement et à l'écoulement non associé. La réponse force-déplacement ainsi que la propagation de la zone de plasticité ne dépendent pas anormalement du maillage. Dans le cas de la compression d'une colonne avec excentricité sous conditions de déformations planes, la tendance de l'effet de taille dans la résistance de la structure est correctement reproduite.
Zusammenfassung
Dem Versagen quasi-spröder Materialien wie Beton geht eine starke Lokalisierung der Deformation voraus, die durch Entfestigung verursacht wird. Die Verwendung klassischer lokaler Modelle führt zu mathematisch schlecht gestellten Randwertproblemen, weil lokale Modelle keinen Längenparameter enthalten. Richtig formulierte nichtlokale Modelle hingegen können den gesamten Verformungsprozess quasi-spröder Materialien beschreiben. Für eine Reihe von nichtlokalen Plastizitätsmodellen vom Gradienten- und Integraltyp wird eine eindimensionale Bifurkationsanalyse durchgeführt und die Spannungs-DehnungsAntwort bis zum Versagen untersucht. Die nichtlokalen Modelle basieren auf dem ratenunabhängigen, isotropen Plastizitätsmodell für kleine Deformationen. Bei der Bifurkation von der homogenen Lösung zeigen die meisten nichtlokalen Modelle physikalisch sinnvolles Verhalten; bei einigen Modellen kommt es jedoch in der Folge zur Ausdehnung der plastischen Zone. Die Spannung verbleibt in diesen Fällen trotz wachsender Dehnung auf zu hohem Niveau. Das Vermeer-Brinkgreve-Modell und das Ductile-Damage-Modell werden für die weitere Entwicklung ausgewählt und unter Berücksichtigung von Verfestigung einer Bifurkationsanalyse im ebenen Verzerrungszustand unterzogen. Beiden Modellen gemeinsam ist die nichtlokale Erweiterung durch eine Fließfunktion, die in geeigneter Weise von der lokalen und der nichtlokalen Verfestigungsvariablen abhängt. Die Analyse liefert Kriterien für reguläre Lösungen und einen analytischen Ausdruck für die initiale Verteilung der plastischen Dehnrate. Bei geeigneter Wahl der Parameter kann das Ductile-Damage-Modell sowohl für Entfestigung als auch für Verfestigung verwendet werden, das VermeerBrinkgreve-Modell ist jedoch auf Entfestigung beschränkt. Ein effizienter und robuster iterativer Algorithmus für den stress return nichtlokaler Modelle, bei denen die Fließfunktion von der lokalen und der nichtlokalen Verfestigungsvariable abhängt, wird vorgestellt und implementiert. Aufgrund der gewichteten Mittelung ist der stress return ein gekoppeltes nichtlineares Komplementärproblem, welches durch eine Art Jacobi-Iteration gelöst wird. Der Algorithmus wird für einen Sonderfall rigoros hergeleitet und anschliessend durch physikalische Interpretation der Ergebnisse verallgemeinert. Im Hinblick auf die Modellierung von Beton wird die nichtlokale Erweiterung auf Plastizitätsmodelle mit druckabhängigen Fließfunktionen und nicht-assoziierten Fließregeln angewendet. Die numerische Simulation einfacher Experimente zeigt, dass die nichtlokalen Modelle die Lokalisierung aufgrund von Entfestigung und nicht-assoziiertem Fluss regularisieren. Weder die Last-Verschiebungs-Antwort noch die Entwicklung der Prozesszone hängen in unnatürlichem Maße von der Diskretisierung ab. Der Trend für den Größeneffekt der Strukturfestigkeit einer prismatischen Säule unter exzentrischer Kompression wird richtig vorausgesagt.