Faculté des sciences et techniques de l'ingénieur STI, Section de génie mécanique, Institut d'ingénierie des systèmes I2S (Laboratoire d'automatique - commun LA-CO)

Control design of hybrid systems via dehybridization

Sedghi, Babak ; Longchamp, Roland (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2003 ; no 2859.

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    Summary
    Hybrid dynamical systems are those with interaction between continuous and discrete dynamics. For the analysis and control of such systems concepts and theories from either the continuous or the discrete domain are typically readapted. In this thesis the ideas from perturbation theory are readapted for approximating a hybrid system using a continuous one. To this purpose, hybrid systems that possess a two-time scale property, i.e. discrete states evolving in a fast time-scale and continuous states in a slow time-scale, are considered. Then, as in singular perturbation or averaging methods, the system is approximated by a slow continuous time system. Since the hybrid nature of the process is removed by averaging, such a procedure is referred to as dehybridization in this thesis. It is seen that fast transitions required for dehybridization correspond to fast switching in all but one of the discrete states (modes). Here, the notion of dominant mode is defined and the maximum time interval spent in the non-dominant modes is considered as the 'small' parameter which determines the quality of approximation. It is shown that in a finite time interval, the solutions of the hybrid model and the continuous averaged one stay 'close' such that the error between them goes to zero as the 'small' parameter goes to zero. To utilize the ideas of dehybridization for control purposes, a cascade control design scheme is proposed, where the inner-loop artificially creates the two-time scale behavior, while the outer-loop exponentially stabilizes the approximate continuous system. It is shown that if the origin is a common equilibrium point for all modes, then for sufficiently small values of the 'small' parameter, exponential stability of the hybrid model can be guaranteed. However, it is shown that if the origin is not an equilibrium point for some modes, then the trajectories of the hybrid model are ultimately bounded, the bound being a function of the 'small' parameter. The analysis approach used here defines the hybrid system as a perturbation of the averaged one and works along the lines of robust stability. The key technical diffierence is that though the norm of the perturbation is not small, the norm of its time integral is small. This thesis was motivated by the stick-slip drive, a friction-based micropositioning setup, which operates in two distinct modes 'stick' and 'slip'. It consists of two masses which stick together when the interfacial force is less than the Coulomb frictional force, and slips otherwise. The proposed methodology is illustrated through simulation and experimental results on the stick-slip drive.
    Résumé
    Un système dynamique est dit hybride s'il existe une étroite interaction entre des dynamiques continues et des dynamiques discrètes. Afin d'analyser et de commander ce type de systèmes, les concepts et théories les domaines discret et continu doivent être adaptées. Dans ce travail de thèse, les idées issues de la théorie des perturbations sont adaptées afin d'approximer un système hybride par un système continu. Les systèmes hybrides caractérisés par deux échelles de temps, c'est-à-dire des états discrets évoluant rapidement et des états continus évoluant lentement, sont considérés. Ensuite, comme dans les méthodes de perturbations singulières ou de moyennisation, le système est approximé par un système continu lent. Vu que la nature hybride du processus est supprimée par moyennisation, une telle procédure est appelée déshybridation dans cette thèse. On montre que les transitions rapides nécessaires pour la déshybridation correspondent à la commutation rapide dans tous les états discrets (modes) sauf un. Ainsi, la notion de mode dominant est définie et l'intervalle de temps maximal passé dans les modes non dominants est considéré comme le 'petit' paramètre qui détermine la qualité de l'approximation. On prouve que, dans un intervalle de temps fini, les solutions du modèle hybride et du modèle continu moyenné restent 'proches', si bien que l'erreur entre elles tend vers zéro quand le 'petit' paramètre tend vers zéro. Afin d'exploiter les idées de déshybridation dans un but de commande, la synthèse d'un schéma de commande en cascade est proposée. La boucle interne crée artificiellement le comportement à deux échelles de temps et la boucle externe stabilise exponentiellement le système continu approximé. On démontre que, si l'origine est un point d'équilibre commun pour tous les modes, alors pour des valeurs suffisamment petites du 'petit' paramètre, la stabilité exponentielle du système hybride peut être garantie. Si l'origine n'est pas un point d'équilibre pour certains modes, alors les trajectoires du modèle hybride sont bornées, la borne étant une fonction du 'petit' paramètre. L'approche utilisée permet de définir le système hybride comme une perturbation du système moyenné et s'inspire de la stabilité robuste. La diffiérence technique majeure est que, malgré le fait que la norme de la perturbation n'est pas petite, la norme de son intégrale dans le temps est petite. Cette thèse est motivée par un système d'actionneur stick-slip de laboratoire, qui réalise un micro-positionnement basé sur le frottement, et opère dans les deux modes distincts 'stick' et 'slip'. L'actionneur consiste en deux masses qui avancent ensemble quand la force interfaciale est plus faible que la force de frottement de Coulomb, et glissent dans le cas contraire. La méthodologie proposée est illustrée par des simulations et des résultats expérimentaux sur l'actionneur stick-slip.