Faculté des géosciences et de l'environnement

Investigation phytochimique d'une brosse à dents africaine "Zanthoxylum zanthoxyloides" (Lam.) Zepernick et Timler (Syn. "Fagara zanthoxiloides" L.) (Rutaceae)

Chaaib Kouri, Fatima ; Hostettmann, Kurt (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Lausanne, 2004.

Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l’on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l’homologie entière des espaces d’Eilenberg-MacLane K(G, n) où G est un groupe abélien non trivial et n > 2. L’objectif majeur de ce travail est d’étendre ce résultat à des Hespaces possédant plus d’un groupe d’homotopie non trivial. Dans le... Plus

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    Résumé
    Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l’on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l’homologie entière des espaces d’Eilenberg-MacLane K(G, n) où G est un groupe abélien non trivial et n > 2. L’objectif majeur de ce travail est d’étendre ce résultat à des Hespaces possédant plus d’un groupe d’homotopie non trivial. Dans le but de contrôler précisément le résultat de H. Cartan, on commence par étudier la dualité entre l’homologie et la cohomologie des espaces d’Eilenberg-MacLane 2-locaux de type fini. On parvient ainsi à ra_ner quelques résultats qui découlent des calculs de H. Cartan. Le résultat principal de ce travail peut être formulé comme suit. Soit X un H-espace ne possédant que deux groupes d’homotopie non triviaux, tous deux finis et de 2-torsion. Alors X n’admet pas d’exposant pour son groupe gradué d’homologie entière réduite. On construit une large classe d’espaces pour laquelle ce résultat n’est qu’une conséquence d’une caractéristique topologique, à savoir l’existence d’un rétract faible X ! K(G, n) pour un certain groupe abélien G et n > 2. On généralise également notre résultat principal `a des espaces plus compliqués en utilisant la suite spectrale d’Eilenberg-Moore ainsi que des méthodes analytiques faisant apparaître les nombres de Betti et leur comportement asymptotique. Finalement, on conjecture que les espaces qui ne possèdent qu’un nombre fini de groupes d’homotopie non triviaux n’admettent pas d’exposant homologique. Ce travail contient par ailleurs la présentation de la “machine d’Eilenberg-MacLane”, un programme C++ conçu pour calculer explicitement les groupes d’homologie entière des espaces d’Eilenberg-MacLane.
    Summary
    By the work of H. Cartan, it is well known that one can find elements of arbitrarilly high torsion in the integral (co)homology groups of an Eilenberg-MacLane space K(G, n), where G is a non-trivial abelian group and n > 2. The main goal of this work is to extend this result to H-spaces having more than one non-trivial homotopy group. In order to have an accurate hold on H. Cartan’s result, we start by studying the duality between homology and cohomology of 2-local Eilenberg-MacLane spaces of finite type. This leads us to some improvements of H. Cartan’s methods in this particular case. Our main result can be stated as follows. Let X be an H-space with two non-trivial finite 2-torsion homotopy groups. Then X does not admit any exponent for its reduced integral graded (co)homology group. We construct a wide class of examples for which this result is a simple consequence of a topological feature, namely the existence of a weak retract X ! K(G, n) for some abelian group G and n > 2. We also generalize our main result to more complicated stable 2-stage Postnikov systems, using the Eilenberg-Moore spectral sequence and analytic methods involving Betti numbers and their asymptotic behaviour. Finally, we investigate some guesses on the non-existence of homology exponents for finite Postnikov towers. We conjecture that Postnikov pieces do not admit any (co)homology exponent. This work also includes the presentation of the “Eilenberg-MacLane machine”, a C++ program designed to compute explicitely all integral homology groups of Eilenberg-MacLane spaces.