Faculté des sciences

Persistance de processus de Markov déterministes par morceaux

Strickler, Edouard Antoine ; Benaïm, Michel (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2019.

This thesis is devoted to the study of the long-term behaviour of Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP). That is, a process (Xt,It)t≥0 living in ℝd × E with E a finite space, where X is continuous and evolves between the jumps of I as dXt / dt = FIt (Xt),... More

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    Résumé
    Cette thèse est dédiée à l'étude de Processus de Markov Déterministes par Morceaux (PDMP). C'est-à-dire, un processus (X,I) vivant sur ℝd × E, où E est un ensemble fini, et X un processus continu, évoluant entre les sauts de I selon
    dXt / dt = FIt(Xt),
    Les sauts du processus I sont quant à eux gouvernés par le processus X :
    ℙ (It+s = j | 𝐹t= aij(Xt)s + o(s) pour ji sur {It = i},
    où ${\cal F}_t = \sigma ((X_s,I_s) \: : s \leq t\}.$
    Dans les équations ci-dessus, Fi désigne un champ de vecteurs de ℝd et pour tout $x \in E$ ℝd, $(a_{ij}(x))_{i,j\in E}$ est une matrice de sauts. Dans cette thèse, nous nous intéressons essentiellement au problème suivant. Supposons que pour tout $i \in E$,
    Fi (0) = 0.
    Autrement dit, 0 est un point d'équilibre commun aux Fi, et si le processus X démarre à 0, il y restera pour toujours. Une question naturelle est donc de s'intéresser au comportement du processus X quand le point de départ n'est pas 0, mais en est proche.
    Dans un premier travail publié conjointement avec Michel Benaïm, nous donnons une réponse à cette question dans un cadre général. Nous avons montré, en utilisant des résultats de persistance stochastique, que le comportement de X au voisinage de 0 se déduit essentiellement de celui du processus linéarisé $(Y,J)$, où $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t,$ $A^i$ est la matrice jacobienne de Fi en 0 et J est une chaîne de Markov sur E avec taux de sauts (aij(0)). Nous avons montré que nous pouvons définir une quantité réelle et déterministe $\Lambda$, qui donne le taux de croissance exponentiel de Y ainsi que le comportement de X près de 0. Plus précisément, si $\Lambda < 0$, alors $X_t→ 0$ exponentiellement vite avec probabilité positive si le point de départ est proche de 0, tandis que si $\Lambda > 0$, le processus est persistent : il admet une probabilité invariante qui ne donne pas de masse à 0.
    Dans un deuxième travail, en collaboration avec Alexandru Hening, nous avons appliqué les résultats décrits ci-dessus pour répondre à une conjecture de Takeuchi et al. sur un système proie-prédateur de Lotka-Volterra en environnement fluctuant.
    Plus précisément, nous considérons le cas où il y a deux champs de vecteurs F0 et F2 sur ℝ2 donnés par
    Fi(x,y) = (x(ai-biy) y(-ci+dix)).
    Nous supposons que les deux champs de vecteur admettent le même point d'équilibre q dans le quadrant positif. Nous avons montré que dans ce cas, le taux de croissance $\Lambda$ en q est positif. En particulier, le système ne peut pas converger vers q.
    Dans un troisième travail, j'étends dans un certain contexte les résultats que nous avons obtenus avec Michel Benaïm au cas où nous pouvons cette fois définir deux taux de croissance avec des signes opposés. J'en donne une application à l'étude de champs de Lorenz modulés.
    Les deux dernières parties de cette thèse ne traitent pas directement de la question ci-dessus, mais y sont reliées. L'une d'elle reprend un article que nous avons publié avec Michel Benaïm et Tobias Hurth, et dans lequel nous donnons une condition légèrement différente de celles existantes pour l'ergodicité des PDMP. Le résultat peut s'appliquer en particulier au cas où les champs de vecteurs ont un zéro commun.
    Enfin, la toute dernière partie est dévolue à l'étude de la discrétisation en espace des PDMP considérés plus haut. Plus précisément, nous considérons une chaîne de Markov sur une grille de taille finie, dans les taux de sauts sont reliés au champs de vecteurs Fi. Cette chaîne de Markov touche 0 en temps fini, et ensuite n'en bouge plus. Ainsi, cette chaîne de Markov a une distribution quasi-stationnaire. Le but de cette dernière partie est l'étude du comportement asymptotique de cette distribution quasi-stationnaire lorsque la taille de la grille tend vers l'infini.
    Summary
    This thesis is devoted to the study of the long-term behaviour of Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP). That is, a process (Xt,It)t≥0 living in ℝd × E with E a finite space, where X is continuous and evolves between the jumps of I as
    dXt / dt = FIt (Xt),
    and $I$ jumps according to

    ℙ (It+s = j | 𝐹t= aij(Xt)s + o(s) for ji sur {It = i}, where ${\cal F}_t = \sigma ((X_s,I_s) \: : s \leq t\}.$ Here, for all $i \in E$, $F^i$ denotes a vector field on ℝd and for all ℝd, $(a_{ij}(x))_{i,j \in E}$ is a rate matrix. In this thesis, we are mainly concerned with the following problem. Assume that for all $i \in E$,
    Fi (0) = 0.
    In other words, $0$ is a common equilibrium point for the Fi. In particular, when the process X starts at 0, it remains there forever. A natural question is what is the behaviour of X when the starting point is not 0 but close to 0.
    First, in a joint work with Michel Benaïm, we answer this question in a general context. We show, using stochastic persistence results, that the behaviour of $(X,I)$ is mainly determined by the behaviour of the linearised process $(Y,J)$, where $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t,$ $A^i$ is the Jacobian matrix of Fi at 0 and J is the jump process with rates $(a_{ij}(0)).$ We prove that under fairly general conditions, we can define a deterministic quantity $\Lambda$ giving the exponential growth rate of $Y$ as well as the behaviour of $X$ near $0$. More precisely, if $\Lambda < 0$, then $X_t → 0$ exponentially fast with positive probability in a neighbourhood of $0$, while if $\Lambda > 0$, the process $(X,I)$ is persistent : it admits an invariant probability measure $\Pi$ which does not confer mass to $0$.
    In a second joint work with Alexandru Hening, we show how we can apply this theory to answer a conjecture raised by Takeuchi et al. in 2006 on switching Lotka-Volterra prey-predator models. That is, we consider the case where there are two vector fields $F^0, F^1$ on ℝ2 given by
    Fi(x,y) = (x(ai-biy) y(-ci+dix)).
    We assume that the two vector fields have the same equilibrium point q in the positive quadrant and show that the average growth rate $\Lambda$ at q is positive.
    In a third work, I extend in a specific context the results obtained in the work with Michel Benaïm to the case where we can this time define two quantities $\Lambda^- <0$ and $\Lambda^+ > 0$, describing the exponential growth rates of $Y$. An application is given to Lorenz vector fields with switching.
    The two remaining works of this thesis do not deal specifically with the above question, but are related to it. The first one is a joint work with Michel Benaïm and Tobias Hurth, where we give a slightly different condition from the ones existing for the exponential ergodicity of PDMP. It can in particular be applied in the case where the vector fields share a common equilibrium.
    The final work is concerned with the discretisation in space of the PDMPs. That is, we look at a Markov chain on a finite grid, whose jump rates are related to the vector fields Fi.This Markov chain will hit 0 in finite time, and then remain in 0 forever. Thus, the Markov chain admits a quasi-stationary distribution. The purpose of the final chapter is to give some results on this quasi-stationary distribution when the size of the grid goes to infinity.