Faculté des sciences

Isoperimetric inequalities for Laplace and Steklov problems on Riemannian manifolds

Pétiard, Luc ; Colbois, Bruno (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2019.

This thesis is about the spectra of the Laplacian and of the Dirichlet-to-Neumann operators on a compact Riemannian manifold. Both problems have physical interpretations that can be found in [Eva 1998] and [Ban 1980]. We focused on finding upper bounds for the eigenvalues, based on the geometry of the manifold. More precisely, we consider if it is possible to obtain upper bounds in which the... More

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    Résumé
    Cette thèse porte sur le spectre du laplacien et sur le spectre de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann, qu'on étudie sur une variété riemannienne compacte. Nous trouvons en particulier des bornes supérieures pour les valeurs propres, en fonction de la géométrie de la variété.
    Plus précisément, nous verrons s'il est possible d'obtenir des bornes supérieures dans lesquelles le terme géométrique est séparé du terme asymptotique, et si ce dernier croît de manière optimale par rapport à la loi de Weyl. Le premier résultat est dédié à la construction d'un contre-exemple à une question provenant du travail de B. Colbois, A. El Soufi et A. Girouard en 2013, dans lequel ils bornent les valeurs propres du laplacien sur une hypersurface $\Sigma$ de dimension $n\geqslant 2$ à l'aide de son quotient isopérimétrique $I(\Sigma)$ : \begin{equation*} \lambda_k(\Sigma)\cdot\left|\Sigma\right|^{\frac{2}{n}} \leqslant \gamma(n) I(\Sigma)^{1+\frac{2}{n}} k^{\frac{2}{n}}. \end{equation*} Je montre que la borne qu'ils obtiennent est optimale, dans le sens où on ne peut pas avoir de borne de la forme $\gamma_1(n)I(\Sigma) + \gamma_2(n)k^{\frac{2}{n}}$. Dans ce contexte, cela montre aussi qu'une inégalité, à la Kröger, est inenvisageable, même après un certain rang.
    Le deuxième chapitre a été réalisé en collaboration avec S. Kouzayha. Prenons une variété riemannienne $(M,g)$ de dimension $n$. Nous nous sommes intéressé à une généralisation du problème précédent, plus précisément nous avons regardé comment la variation des densités $\sigma$ et $\rho$ influait les valeurs propres du problème suivant : \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rll} -\text{div}(\sigma \nabla u) & = \lambda \rho u &\text{ dans } M\\ \partial_n u & = 0 &\text{ sur } \partial M. \end{array} \right. \end{equation*} Comme il y a à priori beaucoup de paramètres, nous avons fixé la métrique, et les densités vont varier suivant des restrictions bien précises. La densité $\sigma$ sera prise comme une puissance de $\rho$, ce que l'on notera $\sigma = \rho^{\alpha}$, $\alpha \in (0,1)$. Ce choix est motivé par des travaux réalisés sur le spectre conforme. En effet, l'étude des métriques conformes est liée au cas particulier $\sigma = \rho^{\frac{n-2}{n}}$. Nous apportons une réponse définitive à la majoration des valeurs propres lorsque $\alpha \leqslant \frac{n-2}{n}$. Dans la dernière partie nous étudions le problème de Steklov : \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rll} \Delta u & = 0 & \text{ dans } M \\ \partial_{\eta} u & = \sigma u & \text{ sur }\partial M. \end{array} \right. \end{equation*} Nous cherchons donc les réels tels qu'il existe une fonction correspondante $u$, harmonique dans $M$ et proportionnelle à sa dérivée normale sur la frontière $\partial M$. L'intérêt pour le problème de Steklov n'a fait que grandir au cours de ces dernières années, et les mathématiciens continuent à découvrir comment ce problème est lié à l'équation de Laplace. Dans le cas des domaines, les valeurs propres de Steklov peuvent être vues comme solutions du laplacien à densité de la partie 3, où cette dernière est concentrée toute entière sur la frontière. Dans mon travail, je me suis focalisé sur les valeurs propres d'une variété $M$ immergée dans l'espace hyperbolique. La première borne est obtenue dans un contexte très général ; la seule hypothèse étant que $M$ est incluse dans l'espace hyperbolique de dimension $m\geqslant n$. Dans les deux derniers résultats, nous imposons $m = n+1$, et le fait que $\partial M$ soit aussi la frontière d'un domaine de $\mathbb{R}^n$ ou de $\mathbb{H}^n$.
    Summary
    This thesis is about the spectra of the Laplacian and of the Dirichlet-to-Neumann operators on a compact Riemannian manifold. Both problems have physical interpretations that can be found in [Eva 1998] and [Ban 1980]. We focused on finding upper bounds for the eigenvalues, based on the geometry of the manifold. More precisely, we consider if it is possible to obtain upper bounds in which the geometrical term can be separated from the asymptotical term, and if the latter grows optimally regarding the Weyl law.
    The first result is dedicated to the construction of a counterexample of a question that follows from a work of 2013 by B. Colbois, A. El Soufi and A. Girouard, where they bound the Laplacian eigenvalues of a hypersurface $\Sigma$ of dimension $n\geqslant 2$ using its isoperimetric ratio $I(\Sigma)$: \begin{equation*} \lambda_k(\Sigma)\cdot\left|\Sigma\right|^{\frac{2}{n}} \leqslant \gamma(n) I(\Sigma)^{1+\frac{2}{n}} k^{\frac{2}{n}}. \end{equation*} I show the bound they obtain is actually optimal, in the sense that one cannot have a bound of the form $\gamma_1(n)I(\Sigma) + \gamma_2(n)k^{\frac{2}{n}}$. In this context, it also means that a ``Kröger type'' inequality is not possible, even after a certain index.
    The second theme is a joint work with S. Kouzayha. Given a Riemannian manifold $(M,g)$ of dimension $n$, we are interested in a generalisation of the Laplace problem, that is, we are focused on the variations of the densities $\sigma$ and $\rho$ of the following problem: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rll} -\text{div}(\sigma \nabla u) & = \lambda \rho u &\text{ in } M\\ \partial_n u & = 0 &\text{ on } \partial M. \end{array} \right. \end{equation*} There are a priori a lot of parameters, so the metric will be fixed, and the densities will vary following some restrictions. Here $\sigma$ will be taken as a power of $\rho$, that is, $\sigma = \rho^{\alpha}$, $\alpha \in (0,1)$. This choice is motivated by considerations of the conformal spectrum. Indeed, the study of conformal metrics can be linked with a particular case of densities given by $\sigma = \rho^{\frac{n-2}{n}}$. We bring a definitive answer to the boundedness of the eigenvalues when $\alpha \leqslant \frac{n-2}{n}$.
    The third topic is about the Steklov problem: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rll} \Delta u & = 0 & \text{ in } M \\ \partial_{\eta} u & = \sigma u & \text{ on }\partial M. \end{array} \right. \end{equation*} That means we search for real values such that there is a corresponding function $u$ which is harmonic in $M$ and proportional to its normal derivative on $\partial M$. The interest for Steklov problem has grown only recently, and mathematicians are discovering, with the knowledge of what was done for the Laplace equation, how these two problems intersect with one another. In the case of domains, Steklov eigenvalues can be seen as the solutions of the weighted Laplacian that is discussed in part 4, where the density is concentrated only on the boundary. In my work, I focused on eigenvalues of a manifold $M$ embedded in the hyperbolic space. The first bound we obtain is in a very general context; the only assumption is that $M$ is embedded in the hyperbolic space of dimension $m\geqslant n$. In the last two results, we impose $m=n+1$ and the fact that $\partial M$ is the boundary of some connected domain of $\mathbb{R}^n$ or $\mathbb{H}^n$.