Faculté des sciences

Action selectors without Floer-Homology

Haug, Carsten ; Schlenk, Felix (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2018.

Les systèmes hamiltoniens sur des variétés symplectiques ont d'habitude beaucoup d'orbites périodiques. Les actions des orbites forment un invariant du système hamiltonien. Cependant, l'ensemble des actions peut être très grand. Pour obtenir des invariants utiles, on ne sélectionne pour chaque fonction hamiltonienne qu'une valeur d'action en utilisant une procédure de minimax : on... Plus

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    Résumé
    Les systèmes hamiltoniens sur des variétés symplectiques ont d'habitude beaucoup d'orbites périodiques. Les actions des orbites forment un invariant du système hamiltonien. Cependant, l'ensemble des actions peut être très grand. Pour obtenir des invariants utiles, on ne sélectionne pour chaque fonction hamiltonienne qu'une valeur d'action en utilisant une procédure de minimax : on appelle sélecteur d'action la fonction qui associe à chaque difféomorphisme hamiltonien à support compact une seule valeur d'action d'une orbite de période 1, de manière continue et non triviale. L'existence d'un sélecteur d'action a déjà beaucoup d'applications en mécanique hamiltonienne, en topologie symplectique et géométrie. Elle permet de construire une capacité symplectique et implique alors le théorème de non-tassement de Gromov. De plus, l'existence d'un sélecteur d'action implique la quasi-existence de caractéristiques fermées sur des hypersurfaces déplaçables de type contact, implique souvent que le diamètre du groupe des difféomorphismes hamiltoniens muni de la métrique de Hofer est infini, etc.
    Des sélecteurs d'action ont été construits d'abord pour l'espace vectoriel symplectique standard (ℝ2n, ω) par Viterbo et Hofer-Zehnder. Pour des variétés symplectiques (M,ω) plus générales, la construction d'un sélecteur d'action a jusqu'à présent toujours nécessité l'homologie de Floer : pour des variétés symplectiques asphériques (c.à.d. les variétés symplectiques pour lesquelles l'intégrale de la forme symplectique sur les sphères s'annule), Schwarz a construit le sélecteur de Floer dans le cas où M est compacte et sans bord. Cette construction a été généralisée aux variétés symplectiques convexes par Frauenfelder-Schlenk. Pour quelques autres classes de variétés symplectiques et fonctions hamiltoniennes, le sélecteur de Floer a été construit par Lanzat, Oh et Usher.
    Dans cette thèse on donne une construction plus élémentaire d'un sélecteur d'action pour des variétés symplectiques asphériques compactes et sans bord, et pour des variétés symplectiques asphériques convexes. Notre construction utilise seulement la compacité de Gromov et des résultats du chapitre 6 du livre écrit par Hofer et Zehnder, basé sur la théorie de Fredholm rudimentaire. On n'utilise aucun des outils plus avancés qui sont utilisés dans la construction de l'homologie de Floer. Ainsi, les trois propriétés de base d'un sélecteur d'action (spectralité, continuité et non-trivialité) sont démontrables d'une manière plus simple, car le seul outil disponible est la compacité de certains espaces de cylindres holomorphes. En utilisant ces trois propriétés de base, on déduit alors plusieurs autres propriétés de manière élémentaire.
    Summary
    Hamiltonian systems on symplectic manifolds tend to have many periodic orbits. The “actions” of these orbits form an invariant for the Hamiltonian system. The set of actions can be very large, however. To get useful invariants, one selects for each Hamiltonian function just one action value by some minimax procedure: A so-called action selector associates with every compactly supported Hamiltonian diffeomorphism of a symplectic manifold the action of a 1-periodic orbit, in a continuous and nontrivial way. The mere existence of an action selector has many applications to Hamiltonian dynamics, symplectic geometry and topology: It readily yields a symplectic capacity and thus implies Gromov's nonsqueezing theorem, implies the almost existence of closed characteristics on displaceable hypersurfaces and in particular the Weinstein conjecture for displaceable energy surfaces of contact type, often shows that the diameter of the Hamiltonian diffeomorphism group with Hofer's metric is infinite, etc.
    Action selectors were first constructed for the standard symplectic vector space (ℝ2n, ω0) by Viterbo and Hofer-Zehnder. For more general symplectic manifolds (M,ω), action selectors were obtained, up until now, only by means of Floer homology: For symplectically aspherical symplectic manifolds (namely those for which the integral of the symplectic form over spheres vanishes) Schwarz constructed the Floer selector when M is closed, and his construction was adapted to convex symplectic manifolds by Frauenfelder{Schlenk. For some further classes of symplectic manifolds and Hamiltonian functions, the Floer selector was constructed by Lanzat, Oh and Usher.
    In this thesis we give a more elementary construction of an action selector for closed or convex symplectically aspherical manifolds. Our construction uses only Gromov compactness and results from Chapter 6 of the text book by Hofer and Zehnder, that also rely on rudimentary Fredholm theory, but none of the more advanced tools in the construction of Floer homology. In this way, the three basic properties of an action selector (spectrality, continuity, and non-triviality) are readily established and their proofs are rather straightforward, since the only tool at our hands is the compactness property of certain spaces of holomorphic cylinders. From these three basic properties of the selector many further properties then follow in an elementary way.