Faculté des sciences

Analyse numérique du spectre du Laplacien sur les domaines de surfaces

Crevoisier, Fabien ; Besson, Olivier (Dir.) ; Colbois, Bruno (Codir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2012.

Cette thèse, dont les programmes joints constituent un élément indissociable, traite du spectre du Laplacien sur des domaines de surfaces et plus précisément du calcul numérique des valeurs et fonctions propres pour des conditions au bord de Dirichlet et de Neumann. Une fois la formulation variationnelle du spectre du Laplacien établie, nous adaptons aux domaines de surfaces la bien... Plus

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    Résumé
    Cette thèse, dont les programmes joints constituent un élément indissociable, traite du spectre du Laplacien sur des domaines de surfaces et plus précisément du calcul numérique des valeurs et fonctions propres pour des conditions au bord de Dirichlet et de Neumann.
    Une fois la formulation variationnelle du spectre du Laplacien établie, nous adaptons aux domaines de surfaces la bien connue méthode des éléments finis pour les domaines du plan. La convergence des solutions est démontrée et la mise en oeuvre numérique de la méthode est précisée. On aborde en particulier les questions de maillage (par macro-éléments ou de Delaunay) et de traitements de triangulations (renumérotation des noeuds et raffinement local). La construction et la résolution numérique du problème matriciel associé sont également détaillés; sont notamment abordés la question du mass-lumping et l'algorithme itératif de Lanczos.
    Deux applications aux domaines du plan (mais éventuellement généralisables aux surfaces) sont ensuite présentées: premièrement, la démonstration de la convergence des valeurs et fonctions propres d'un domaine à anse fine vers les solutions de deux problèmes limites indépendants, l'un correspondant au problème sur la partie épaisse du domaine, l'autre à un problème associé à l'anse (essentiellement unidimensionnel mais toutefois non trivial selon la géométrie de l'anse); deuxièmement, la mise en oeuvre d'un algorithme de minimisation des valeurs propres de Dirichlet, basé sur une méthode de variation du bord.
    Une série d'exemples d'utilisation de ces algorithmes est proposée, contenant des résultats numériques et des explications concernant leur modélisation: tores, sphères, couples de domaines isospectraux, domaines à anses planes et cylindriques fines, ainsi que les 10 premiers domaines optimaux déterminés par l'algorithme d'optimisation de forme.
    Une description du fonctionnement et de l'utilisation des programmes développés pour ce travail sur la base des algorithmes cités plus haut est finalement donnée.