Faculté des sciences

Applications of linear barycentric rational interpolation

Klein, Georges ; Berrut, Jean-Paul (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Fribourg, 2012 ; no. 1762.

This thesis is a collection of properties and applications of linear barycentric rational interpolation, mainly with the weights presented by Floater and Hormann in 2007. We are motivated by the counterintuitive and provable impossibility of constructing from equispaced data an approximation scheme that converges very rapidly to the approximated function and is simultaneously computationally... Di più

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    Résumé
    Ce travail est une collection de propriétés et d’applications de l’interpolation rationnelle linéaire barycentrique, principalement de celle faisant usage des poids proposés par Floater et Hormann en 2007. Nous avons été motivés par le fait contre-intuitif et démontrable qu’il est impossible de construire à partir de données équidistantes une méthode d’approximation convergeant très rapidement et qui soit simultanément stable pour l’évaluation numérique. L’interpolation rationnelle linéaire barycentrique avec poids de Floater et Hormann s’avère très efficiente en pratique, surtout si la fonction est échantillonnée en des points équidistants. Cette méthode d’approximation est étudiée de manière plus détaillée, pour comprendre la raison de son efficience avec les nœuds équidistants et dans quelle mesure elle se prête à des applications autres que l’approximation de fonctions. Dans une première partie, nous analysons un certain nombre de propriétés de l’interpolation de Floater et Hormann, comme par exemple la convergence pour des fonctions dérivables ou analytiques, la stabilité de son évaluation sous forme barycentrique et la condition de ce problème d’interpolation. La comparaison avec d’autres méthodes bien connues, ne permettant pas nécessairement le choix des nœuds équidistants montre que l’interpolation de Floater et Hormann avec nœuds équidistants est très compétitive, mais certainement pas optimale en tant que méthode générale d’approximation. Elle est néanmoins extrêmement simple à implémenter, peut être évaluée rapidement numériquement et fournit des approximations analytiques. De par sa linéarité les données, ce genre d’interpolants rationnels barycentriques se prête en plus pour les applications, qui constituent la deuxième partie de ce travail. Nous étudions l’approximation de dérivées, d’intégrales et de primitives avec des méthodes issues directement de l’interpolation; nous nous intéressons tout particulièrement aux méthodes pour points équidistants. Dans une dernière partie, nous présentons une extension de l’interpolation de Floater et Hormann, construite pour atténuer certains défauts résiduels. La plupart des propriétés et applications étudiées jusqu’ici pour l’interpolation de Floater et Hormann originelle sont analysées à nouveau pour cette extension.
    Zusammenfassung
    Diese Arbeit ist eine Sammlung von Eigenschaften und Anwendungen der linearen baryzentrischen rationalen Interpolation, hauptsächlich mit den von Floater und Hormann in 2007 eingeführten Gewichten. Unsere Motivation entsprang aus der kontraintuitiven und beweisbaren Unmöglichkeit aus äquidistanten Daten eine Näherungsmethode zu entwickeln, welche sehr schnell konvergiert und gleichzeitig stabil numerisch ausgewertet werden kann. Lineare baryzentrische rationale Interpolation mit den Gewichten von Floater und Hormann ist sehr effizient in der Praxis, insbesondere für Funktionen welche lediglich an äquidistanten Stützstellen gegeben werden können. Diese Näherungsmethode wird genauer untersucht, um zu verstehen warum sie insbesondere mit äquidistanten Stützstellen so effizient ist und in wie fern sie auch für andere Anwendungen als die Annäherung von Funktionen geeignet ist. In einem ersten Teil untersuchen wir Eigenschaften der Floater–Hormann Interpolation, wie z.B. die Konvergenz bei differenzierbaren oder analytischen Funktionen, die Stabilität der numerischen Auswertung in baryzentrischer Form und die Kondition dieses Interpolationsproblems. Der Vergleich mit anderen wohlbekannten Methoden, welche die Wahl der äquidistanten Stützstellen nicht notgedrungen erlauben, zeigt, dass Floater–Hormann Interpolation mit äquidistanten Stützstellen sehr leistungsfähig ist, aber selbstverständlich nicht optimal als allgemeine Näherungsmethode ist. Nichtsdestoweniger ist sie einfach zu programmieren, kann schnell numerisch ausgewertet werden und liefert analytische Näherungen. Die Linearität in den gegebenen Daten dieser baryzentrischen rationalen Interpolierenden erlaubt es, diese auch in Anwendungen einzusetzen, wie wir in einem zweiten Teil dieser Arbeit sehen werden. Wir untersuchen die Annäherung von Ableitungen, Integralen und Stammfunktionen mit Methoden, welche direkt aus den Interpolationsmethoden hergeleitet werden; besonderes Augenmerk liegt auf Methoden für äquidistante Stützstellen. In einem letzten Teil führen wir eine Erweiterung der originalen Floater–Hormann Interpolation ein, welche vor allem ein paar übrig bleibende Nachteile beseitigen sollte. Die meisten Eigenschaften und Anwendungen welche bereits für die originale Floater–Hormann Interpolation untersucht wurden, werden noch einmal für die Erweiterung analysiert.
    Summary
    This thesis is a collection of properties and applications of linear barycentric rational interpolation, mainly with the weights presented by Floater and Hormann in 2007. We are motivated by the counterintuitive and provable impossibility of constructing from equispaced data an approximation scheme that converges very rapidly to the approximated function and is simultaneously computationally stable. Linear barycentric rational interpolation with the weights presented by Floater and Hormann turns out to be very efficient in practice, especially when the function is sampled at equispaced nodes. We pursue the investigation of this interpolation scheme to understand the reason for its efficiency with equispaced nodes, and to what extent it is suited for applications other than the approximation of functions. In a first part, we analyse several properties of Floater–Hormann interpolation, such as its convergence for differentiable and analytic functions, the stability of its evaluation in barycentric form and the condition of this interpolation problem. The comparison with other well established schemes which do not necessarily allow the nodes to be equispaced reveals that Floater–Hormann interpolation with equispaced nodes is very competitive, but of course not optimal as a general method of approximation. Nevertheless it is extremely easy to implement, can be evaluated quickly and gives analytic approximations. The linearity of such barycentric rational interpolation in the data makes it additionally well suited for applications, which are the subject of the second part of this thesis. We investigate the approximation of derivatives, integrals and antiderivatives with methods directly derived from the interpolation scheme; a special focus lies on methods for equispaced samples. In the last part, we present an extension to the original Floater–Hormann interpolation which is supposed to alleviate some remaining drawbacks. Most of the properties and applications that have been the subject of investigations for the original Floater–Hormann interpolants are analysed again for this extended scheme.