Faculté des sciences

Supersymmetric Matrix Models in M-Theory

Bagnoud, Maxime ; Derendinger, Jean-Pierre (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel : 2003 ; 1690.

This thesis is the sum of two parts. The chapter one to four build a general introduction to the use of various matrix models in quantum gravity, string theory and M-theory, while the chapter five to seven contain some recent research results using cubic supermatrix models based on the Lie superalgebra osp(1|32,R) in an attempt to describe the non-perturbative sector of string theories. Chapter... More

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    Résumé
    Cette thèse se compose de deux parties. Les chapitres un à quatre constituent une introduction à l'application de divers modèles de matrices à la gravitation quantique, à la théorie des cordes et à la théorie M, tandis que les chapitres cinq à sept contiennent de récents résultats de recherche sur l'utilisation de modèles de supermatrices cubiques basés sur la superalgèbre de Lie osp(1¦32,R) dans la description du secteur non-perturbatif de la théorie des cordes. Le premier chapitre est une introduction peu technique au sujet mettant l'action sur l'évolution historique des idées ayant mené des premières tentatives de quantification canonique de la gravitation à une description en termes de modèles de matrices supersymétriques dans lesquelles on choisit les branes plutôt que les cordes comme objets dynamiques fondamentaux. Le second chapitre est une introduction aux modèles de matrices utilisés en théorie des cordes et en théorie des champs conformes à basse dimension. Dans les modèles de ce type, on utilise une dualité entre une discrétisation de la surface d'univers d'une corde et les diagrammes de Feynman générés par certaines intégrales matricielles. Cette relation peut être rendue précise dans la limite (continue) où la taille des matrices devient infinie en approchant certains points critiques par d'appropriées doubles limites d'échelle. Dans le troisième chapitre, il est d'abord expliqué pourquoi la dynamique effective à basse énergie de Dp-branes peut être décrite en terme de réductions dimensionnelles appropriées de la théorie de super Yang-Mills en dix dimensions avec groupe de jauge U(N) et une supercharge. Ensuite, le cas des D0-branes, dans lequel on obtient une mécanique quantique supersymétrique de matrices, est étudié plus en détails. En particulier, il est expliqué pourquoi une telle théorie peut décrire (un secteur de) la théorie M et aussi pourquoi cette mécanique quantique peut être vue comme la régularisation matricielle d'une théorie de supermembrane en onze dimensions exprimée dans la jauge du cône de lumière. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude d'un autre modèle de matrices visant à décrire le secteur non-perturbatif de la théorie des cordes, le modèle de matrices IIB. Il est démontré que ce modèle, basé sur la dynamique des D-instantons, peut être vu comme la régularisation matricielle de la supercorde de type IIB dans le formalisme manifestement supersymétrique dans l'espace-temps de Green-Schwarz exprimé dans la jauge de Schild. La seconde partie commence avec le cinquième chapitre, où les modèles cubiques de supermatrices sont introduits, ainsi que leur formulation dans deux contextes particuliers, à douze et onze dimensions. Le second cas est étudié plus en détail, montrant ses similitudes et ses différences par rapport à la mécanique quantique supersymétrique développée dans le chapitre trois. Au vu des propriétés de l'action effective que l'on étudie là, le traitement apparemment meilleur des branes est compensé par une dynamique très compliquée et les difficultés de quantification qui s'ensuivent. Dans le sixième chapitre, le même type de modèles est étudié dans une situation statique à dix dimensions, un contexte favorable à l'étude des vides classiques de la théorie. Il est montré que le modèle possède divers vides correspondants à des espaces courbes non-commutatifs qui sont plus probables que le vide trivial. Une attention particulière est dévolue au cas des sphères non-commutatives de dimension deux et huit, au vu de leur importance géométrique. Malheureusement, une conclusion plutôt pessimiste est donnée quant à la stabilité de ses solutions. Finalement, une brève conclusion est donnée dans le septième chapitre, où la viabilité et l'intérêt des modèles cubiques de supermatrices est discutés
    Summary
    This thesis is the sum of two parts. The chapter one to four build a general introduction to the use of various matrix models in quantum gravity, string theory and M-theory, while the chapter five to seven contain some recent research results using cubic supermatrix models based on the Lie superalgebra osp(1|32,R) in an attempt to describe the non-perturbative sector of string theories. Chapter one is a non-technical introduction to the subject emphasizing the historical evolution of ideas that started with early attempts of quantizing gravity in a canonical way and ultimately led to considering supersymmetric matrix models by choosing branes instead of strings as the fundamental dynamical entities. Chapter two is a review of the early matrix models used to describe low-dimensional string theories and conformal field theories. In this kind of models, one uses a duality relation between the discretization of a string world-sheet and the Feynman diagrams generated by some matrix integral. The relationship is made precise in the (continuum) limit where the size of the matrices goes to infinity by approaching critical points through well-chosen double-scaling limits. Chapter three first explains why the low-energy effective dynamics of Dp-branes can be described in terms of appropriate dimensional reductions of the super Yang-Mills theory in ten dimensions with gauge group U(N) and one supercharge. Then, it specializes to the case of D0-branes, where such a theory becomes a supersymmetric matrix quantum mechanics. Finally, it explains why such a theory can describe (some sector of) M-theory and why it can be viewed as the matrix regularization of the theory of a supermembrane in eleven dimensions expressed in the light-cone gauge. Chapter four is a review of an alternative proposal for the description of the non-perturbative sector of string theories, the IIB matrix model. Essentially, it shows why the latter matrix model, based on the dynamics of D-instantons, can be seen as the matrix regularization of the type IIB superstring in the manifestly space-time supersymmetric Green-Schwarz formalism expressed in the Schild gauge. The second part starts with chapter five, which first introduces the cubic supermatrix models and explores their formulation in twelve-dimensional and eleven-dimensional contexts. It studies the second case in greater details, showing its similarities and differences with the matrix quantum mechanics developed in chapter three. From the properties of the computed effective action, it appears that a better treatment of branes is obscured by a very complicated dynamics and subsequent difficulties of quantization. In chapter six, the same kind of model is explored in a ten-dimensional static case, favourable to the study of the classical vacua of the theory. It is shown that the model considered possesses non-trivial classical solutions forming various non-commutative curved spaces that have greater probabilities than the trivial solution. A particular attention is given to the case of fuzzy two-spheres and eight-spheres, given their geometrical relevance. However, a rather pessimistic conclusion is reached about the stability of these solutions. Finally, a brief summary is given in chapter seven, where the prospects of cubic supermatrix models are discussed