Faculté des sciences

Congruences par l'analyse p-adique et le calcul symbolique

Junod, Alexandre ; Robert, Alain (Dir.)

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel : 2003 ; 1695.

Le travail contient trois parties relativement indépendantes ayant pour point commun d'établir des congruences pour diverses suites classiques de nombres et de polynômes. Le premier chapitre utilise quelques méthodes d'analyse p-adique (notamment le théorème des accroissements finis qui permet d'affiner élégamment plusieurs résultats connus sur les nombres de Bernoulli ordinaires), mais... More

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    Résumé
    Le travail contient trois parties relativement indépendantes ayant pour point commun d'établir des congruences pour diverses suites classiques de nombres et de polynômes. Le premier chapitre utilise quelques méthodes d'analyse p-adique (notamment le théorème des accroissements finis qui permet d'affiner élégamment plusieurs résultats connus sur les nombres de Bernoulli ordinaires), mais les techniques employées sont surtout issues du calcul symbolique. L'idée de base consiste à relier une suite a = (an )n=0 (dans un anneau A commutatif unitaire intègre) à la base canonique (xn )n=0 de A[x] par une application linéaire F : xn ô an , appelée ombre de a. L'étude de la suite a se fait alors au travers de celle de son ombre : certaines propriétés, comme les congruences, se transportent très bien par F. Pour tout nombre premier p, la série k =Â n! converge dans Ÿp (puisque son terme général tend p-adiquement vers zéro) mais la valeur est toujours inconnue et Duro Kurepa a conjecturé qu'il s'agirait d'une unité p-adique lorsque p p 2. Dans le but de traiter cette conjecture, nous montrons comment les polynômes de Bell Bn( x) sont reliés aux sommes de factorielles et comment ils engendrent de manière naturelle une famille de produits scalaires. Nous établissons ensuite Bm+npn ( x ) ? Âk=0 ( nk ) (x p + x p2 + …+ x pn )n-k Bm+k( x ) mod (np/2)Ÿp[x] pour tout nombre premier p et tous les entiers m, n, n = 0. Ceci généralise de nombreux résultats bien connus pour les polynômes et nombres de Bell et il en découle des congruences qui mettent en jeu les nombres de Stirling des deux espèces. Nous généralisons également d'autres types de congruences et montrons finalement que pour toute unité p-adique a Ÿp , les séries vn( a ) = Âk=0 k!ak ( kn + a( -1)nBn+1( -a-1 ) )sont des sommes finies (dans Ÿp), qui décrivent donc des entiers lorsque a = ±1. Dans la dernière partie, nous étudions les matrices de Hankel Hn = (ai+j )i,j£n associées à une suite a = (an )n=0 et donnons une méthode pour évaluer leurs déterminants en admettant certaines conditions sur la fonction génératrice exponentielle (ou ordinaire) de a. Plusieurs cas particuliers bien connus sont ainsi déduits dans un contexte unifié. Lorsque les matrices de Hankel associées à une même suite dans - ont des déterminants tous positifs, elles engendrent alors un produit scalaire et donnent lieu à un système de polynômes orthogonaux. Nous nous inspirons de ce fait pour définir des "produits scalaires généralisés" ainsi que des "systèmes de polynômes orthogonaux associés", et montrons comment ces polynômes peuvent servir à établir des congruences pour la suite des moments (an )n=0. En guise d'illustration, nous retrouvons des congruences déjà établies dans les deux premiers chapitres pour les nombres d'Euler et les polynômes de Bell. Finalement, nous faisons le lien entre les résultats obtenus et les "chaînes à accroissements pondérés" pour leur donner une signification combinatoire