Faculté des sciences de base SB, Programme doctoral Mathématiques, Institut de géométrie, algèbre et topologie IGAT (Groupe Hess Bellwald GR-HE)

Coalgèbres d'Alexander-Whitney : un modèle algébrique pour les espaces topologiques

Naïto, Théophile ; Hess-Bellwald, Kathryn (Dir.)

Thèse Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2009 ; no 4381.

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    Summary
    The goal of this work is to study Alexander-Whitney coalgebras (first defined in [HPST06]) from a topological point of view. An Alexander-Whitney coalgebra is a coassociative chain coalgebra over Z with an extra algebraic structure : the comultiplication must respect the coalgebra structure up to an infinite sequence of homotopies (this sequence is part of the data of the Alexander-Whitney coalgebra structure). Alexander-Whitney coalgebras are interesting for topologists because the normalized chain complex C(K) of a simplicial set K is endowed with an Alexander-Whitney coalgebra structure. This theorem is proved for the first time here (generalising a result proven in [HPST06]). This theorem gives the hope that the Alexander-Whitney coalgebra structure of C(K) contains interesting information that can be used to solve topological problems. This hope is strengthened by the success already obtained in the work of several topologists. Among others, [HPST06], [HL07], [Boy08], and [HR] use the Alexander-Whitney coalgebra structure of the normalized chains of a simplicial set in an essential way to solve topological problems. This thesis begins with some background material. In particular, the definition of a DCSH morphism between two coassociative chain coalgebras is recalled in complete detail. For example, signs are determined with great precision. Next we devote a chapter to the definition of Alexander-Whitney coalgebras and to their importance in topology. In the following chapter we begin the conceptual study of Alexander-Whitney coalgebras. A global study of these objects had not yet been carried out even if the Alexander-Whitney coalgebra structure has been studied and used in order to answer some specific questions. With the aim of studying Alexander-Whitney coalgebras in a nice setting, we develop an operadic description of these coalgebras in the following chapter. More precisely, we show that there is an explicit operad AW such that the coalgebras over this operad are exactly the Alexander-Whitney coalgebras. Furthermore, AW is shown to be a Hopf operad, so that the category formed by the Alexander-Whitney coalgebras is actually a monoidal category. These results are proven in a reasonably general framework. In fact, we associate an operad to each bimodule (over the associative operad) of a certain type, such that we get AW if this bimodule is well chosen. In particular, these results enable us to study Alexander-Whitney coalgebras from the standpoint of operads. This strategy is recognised to be successful in various mathematical situations, and especially in algebraic topology. Moreover, we develop a minimal model notion in the setting of right module over a chosen operad (which has to satisfy some reasonable conditions), with the aim of applying this result to the special case of the Alexander-Whitney coalgebras. This is possible because coalgebras over some fixed operad P can be seen as right modules over P. And the category of right modules over P has some nice features which do not appear to hold in the category of P-coalgebras. The inspiration for this part of our work comes from the notion of minimal model developed in the framework of rational homotopy theory. The two following facts show that it is reasonable to try to adapt some ideas of rational homotopy theory to the category of Alexander-Whitney coalgebras. A. There is a theorem that says that studying topological spaces up to rational equivalences is, essentially, equivalent to studying cocommutative chain coalgebras over the field of rational numbers. This is false if the ring of integers replaces the field of rational numbers, but Alexander-Whitney coalgebras are "almost" cocommutative in the sense which is explained in this thesis. B. It could be that the Alexander-Whitney coalgebra structure of the normalized chains of a simplicial set is weak enough to allow explicit computations. At least, it is clear that the Alexander-Whitney coalgebra structure on the normalized chains is far from being an E∞-structure (such a structure determines the homotopy type of the considered simplicial set, at least under some conditions). The chapter about minimal models in the framework of right modules over an operad includes an existence theorem and a discussion of the unicity of this model. In the second part of this chapter, we construct an explicit path-object in the model category of right modules over an operad. This path-object is then used to investigate the topologically relevant information that could stem from the minimal model in the case of the operad AW. Finally, we present and examine some interesting open questions about Alexander-Whitney coalgebras. These questions give a nice outlook on future research in this area.
    Résumé
    Cette thèse est dédiée à l'étude des coalgèbres d'Alexander-Whitney (définies pour la première fois dans [HPST06]), en choisissant une perspective topologique. Une coalgèbre d'Alexander-Whitney est une Z-coalgèbre de chaînes coassociative munie d'une structure algébrique supplémentaire : la co-multiplication doit respecter la structure de coalgèbre à une suite infinie d'homotopies près (cette suite d'homotopies faisant partie intégrante de la structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney). Les coalgèbres d'Alexander-Whitney sont intéressantes du point de vue de la topologie parce que le complexe des chaînes normalisées C(K) d'un ensemble simplicial K est muni d'une structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney. Ce théorème est prouvé pour la première fois en toute généralité ici (en généralisant un résultat prouvé dans [HPST06]). Comme conséquence, on obtient l'espoir que la structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney de C(K) contienne des informations intéressantes qui puissent être utilisées dans la résolution de problèmes topologiques. Cet espoir est renforcé par les succès obtenus dans différents travaux à caractère topologique ; ces travaux utilisant de manière essentielle la structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney des chaînes normalisées d'un ensemble simplicial. Parmi d'autres, on peut citer [HPST06], [HL07], [Boy08], et [HR]. On commence cette thèse par quelques rappels. En particulier, on rappelle et décortique la définition d'un morphisme DCSH entre coalgèbres de chaînes coassociatives avec un luxe de précision introuvable dans la littérature. Par exemple, les signes sont déterminés avec grande précision. Ensuite on consacre un chapitre à la définition des coalgèbres d'Alexander-Whitney et à l'intérêt topologique des ces coalgèbres. Et c'est dans le chapitre suivant de cette thèse que l'on débute une étude conceptuelle des coalgèbres d'Alexander-Whitney. En effet, si cette structure a déjà été étudiée et exploitée par différents auteurs pour résoudre des problèmes spécifiques, elle n'a encore jamais été abordée de manière globale. Dans ce but, on montre que les coalgèbres d'Alexander-Whitney admettent une description opéradique : il existe une opérade explicite AW telle que les coalgèbres sur cette opérade sont les coalgèbres d'Alexander-Whitney. De plus, cette opérade est une opérade de Hopf, ce qui induit une structure de catégorie monoïdale sur la catégorie des coalgèbres d'Alexander-Whitney. Ces résultats sont prouvés dans un cadre relativement général en associant une opérade à tout bimodule (sur l'opérade associative) d'un certain type. En choisissant bien le bimodule on obtient l'opérade AW. Ces résultats permettent l'étude des coalgèbres d'Alexander-Whitney avec le recul que donnent les opérades, ce qui s'est avéré être une stratégie gagnante dans différents domaines des mathématiques, et en particulier en topologie algébrique. D'autre part, on développe dans ce travail une notion de modèle minimal dans le cadre des modules à droite sur une opérade fixée (qui satisfait quelques conditions raisonnables), dans le but d'appliquer ce résultat au cas particulier des coalgèbres d'Alexander-Whitney. En effet, les coalgèbres sur une opérade P peuvent être vues comme des modules à droite sur l'opérade P, et la catégorie de ces modules est au bénéfice de propriétés agréables que la catégorie des P-coalgèbres n'a pas. L'inspiration pour cette notion de modèle minimal vient de l'homotopie rationnelle. Deux éléments tendent à montrer que les coalgèbres d'Alexander-Whitney forment un bon cadre pour y transposer (sur l'anneau des entiers) des idées d'homotopie rationnelle. A. Il existe un théorème qui dit qu'étudier les espaces topologiques à équivalences rationnelles près est équivalent, essentiellement, à étudier les coalgèbres de chaînes cocommutatives sur le corps des rationnels. Ce résultat est faux sur l'anneau des entiers, mais les coalgèbres d'Alexander-Whitney sont, en un sens expliqué dans cette thèse, "presque" cocommutatives. B. La structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney des chaînes normalisées d'un ensemble simplicial pourrait être suffisamment faible pour que des calculs explicites restent possibles. En effet, il est évident que la structure de coalgèbre d'Alexander-Whitney des chaînes normalisées d'un ensemble simplicial est loin d'être une structure de E∞-coalgèbre, qui détermine (sous certaines conditions) le type d'homotopie de l'ensemble simplicial considéré. Le travail effectué ici sur la notion de modèle minimal dans la catégorie des modules à droite sur une opérade inclut un théorème d'existence du modèle minimal et une discussion sur l'unicité de ce modèle. Dans un second temps, on construit un objet chemin explicite dans la catégorie modèle des modules à droite sur une opérade P ; cet objet chemin étant ensuite utile dans l'investigation de l'information topologique que l'on peut espérer tirer de ce modèle minimal lorsque l'on travaille sur AW. Finalement, on présente et discute quelques problèmes ouverts concernant les coalgèbres d'Alexander-Whitney et qui semblent particulièrement intéressants. Ce qui ouvre de belles perspectives pour des recherches futures dans ce domaine des coalgèbres d'Alexander-Whitney.