Faculté des sciences de base SB, Programme doctoral Mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse ANA)

Théorie de bifurcation et de stabilité pour une équation de Schrödinger avec une non-linéarité compacte

Genoud, François ; Stuart, Charles Alexander (Dir.)

Thèse Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2008 ; no 4233.

Ajouter à la liste personnelle
    Summary
    The nonlinear Schrödinger equation i∂tw + Δw +V(x)|w|p-1w = 0   w = w(t,x) : Ι × RN → C, N ≥ 2,     (1) is studied, with p > 1, V : RN \ {0} → R and Ι ⊂ R an interval. The coefficient V is subject to various hypotheses. In particular, it is always assumed that V (x) → 0 as |x| → ∞. Situations where V is unbounded at the origin are considered. A special attention is paid to the radial case. Seeking solutions of (1) as standing waves w(t,x) = eiλtu(x) leads naturally to the semilinear elliptic equation Δu - λu + V(x)|u|p-1u = 0   u : RN → R, N ≥ 2.     (2) The main goals of the thesis are to establish existence and bifurcation results for (2), to discuss the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions found in (A). First, in Chapter 1, in the case where V is radial, a variational approach shows the existence of ground states for (2). A non-degeneracy property of these solutions is proved, which plays a crucial role in the continuation arguments of Chapter 2. The first part of Chapter 2 establishes local existence and bifurcation results for (2), without any symmetry assumption on V . Under certain hypotheses on the power p and the coefficient V , two branches of solutions are obtained, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞. The branches are of class Cr if V ∈ Cr(RN \ {0},R), for r = 0, 1. These independent results are proved by requiring respectively that lim|x|→∞ V (x)|x|b = B > 0 with b ∈ (0, 2) and that limx→0 V (x)|x|a = A > 0 with a ∈ (0, 2). The asymptotic behaviour along the branches is discussed in detail and depends on the value of p. The second part of Chapter 2 proves the existence of a global branch of solutions of (2), in the case where V is radial. Under appropriate hypotheses, in particular if a ∈ (0, b], the global branch "sticks together" the two local branches obtained in the first part. Chapter 3 is concerned with the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions of (2) found in the first part of Chapter 2. It is explained in detail how to apply the general theory of orbital stability to (1). Local stability/instability results are proved, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞.
    Résumé
    L'équation de Schrödinger non-linéaire i∂tw + Δw +V(x)|w|p-1w = 0   w = w(t,x) : Ι × RN → C, N ≥ 2,     (1) est étudiée, où p > 1, V : RN \ {0} → R et Ι ⊂ R est un intervalle. Le coefficient V fait l'objet de diverses hypothèses. En particulier, il est toujours supposé que V (x) → 0 lorsque |x| → ∞. Des situations où V est non-borné à l'origine sont envisagées, voire imposées. Une attention spéciale est portée au cas où V est radial. La recherche de solutions sous la forme d'ondes stationnaires w(t,x) = eiλtu(x) conduit naturellement à l'équation elliptique semi-linéaire Δu - λu + V(x)|u|p-1u = 0   u : RN → R, N ≥ 2.     (2) Les deux objectifs principaux de la thèse sont établir des résultats d'existence et de bifurcation pour (2), discuter la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (1) correspondant aux solutions trouvées en (A). Tout d'abord, au Chapitre 1, dans le cas où V est radial, une approche variationnelle montre l'existence d'états fondamentaux de (2). Une propriété de non-dégénérescence de ces solutions est démontrée, qui joue un rôle crucial dans les arguments de continuation du Chapitre 2. La première partie du Chapitre 2 établit des résultats locaux d'existence et de bifurcation pour (2), sans hypothèse de symétrie sur V. Moyennant certaines conditions sur la puissance p et le coefficient V, deux branches de solutions sont obtenues, au voisinage de λ = 0 et au voisinage de λ = +∞, qui sont de classe Cr si V ∈ Cr(RN \ {0},R), pour r = 0, 1. Ces résultats indépendants sont démontrés en imposant respectivement que lim|x|→∞ V (x)|x|b = B > 0 avec b ∈ (0, 2) et que limx→0 V (x)|x|a = A > 0 avec a ∈ (0, 2). Le comportement asymptotique le long des branches de solutions est discuté en détail, en fonction de la valeur de p. La seconde partie du Chapitre 2 montre l'existence d'une branche globale de solutions de (2), dans le cas où V est radial. Sous certaines hypothèses, en particulier si a ∈ (0, b], la branche globale "réunit" les deux branches locales obtenues dans la première partie. Le Chapitre 3 traite de la stabilité des ondes stationnaires de (1) qui correspondent aux solutions de (2) trouvées dans la première partie du Chapitre 2. Il est expliqué en détail comment appliquer la théorie générale de stabilité à (1). Des résultats locaux de stabilité/instabilité sont démontrés, au voisinage de λ = 0 et au voisinage de λ = +∞.