A least-squares method for the numerical solution of the dirichlet problem for the elliptic Monge-ampère equation in dimension two

Caboussat, Alexandre ; Glowinski, Roland ; Sorensen, Danny C.

In: ESAIM : control, optimisation and calculus of variations, 2013, vol. 29, no. 3, p. 780-810

Nous ´etudions dans cet article la résolution numérique de l’équation de Monge-Ampère elliptique dans des domaines de forme arbitraire en deux dimensions. Une m´ethode de moindres carrés est couplée à un algorithme de relaxation, conduisant à la résolution d’une suite de probl`emes variation- nels linéaires, et d’une suite de probl`emes de valeurs propres en deux dimensions. Une... Plus

Ajouter à la liste personnelle
    Résumé
    Nous ´etudions dans cet article la résolution numérique de l’équation de Monge-Ampère elliptique dans des domaines de forme arbitraire en deux dimensions. Une m´ethode de moindres carrés est couplée à un algorithme de relaxation, conduisant à la résolution d’une suite de probl`emes variation- nels linéaires, et d’une suite de probl`emes de valeurs propres en deux dimensions. Une approximation par éléments finis mixtes couplée à une méthode de régularisation est utilisée, de sorte que les domaines avec frontière courbe sont traités facilement. Des expériences numériques montrent l’efficacité de la méthode, ainsi que des bonnes propriétés de convergence.
    Summary
    We address the numerical solution of the Dirichlet problem for the real elliptic Monge- Amp`ere equation for arbitrary domains in two dimensions. The numerical method we discuss combines a least-squares formulation with a relaxation method. This approach leads to a sequence of Poisson- Dirichlet problems and another sequence of low dimensional algebraic eigenvalue problems of a new type. Mixed finite element approximations with a smoothing procedure are used for the computer implementation of our least-squares/relaxation methodology. Domains with curved boundaries are easily accommodated. Numerical experiments show the convergence of the computed solutions to their exact counterparts when such solutions exist. On the other hand, when smooth solutions do not exist, our least-squares based methodology produces generalized solutions which can be viewed as viscosity solutions, but in a sense different from Ishii & Lions’.