Faculté des sciences de base SB, Programme doctoral Mathématiques, Institut de géométrie, algèbre et topologie IGAT (Chaire de théorie des groupes CTG)

Foncteurs de Mackey projectifs

Nicollerat, Muriel ; Thévenaz, Jacques (Dir.)

Thèse Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2008 ; no 4089.

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    Summary
    This work deals with the study of projective Mackey functors. Mackey functors are algebraic structures with operations which behave like induction, restriction and conjugation in group representation theory. These objects have properties which generalize many constructions such as, for example, group cohomology, the Burnside ring or algebraic K-theory of group rings. In the first part we concentrate on extension groups of degree 1 between simple Mackey functors for a group G. The calculation of these groups is a very important tool in determining the Loewy series of projective Mackey functors. We determine extension groups between simple Mackey functors indexed by normal subgroups of G. We next study the conditions under which it is possible to restrict ourselves to that case, and we give methods for calculating extension groups between simple Mackey functors which are not indexed by normal subgroups.We also study the case of extension groups between simple Mackey functors indexed by the same subgroup. In that case, every extension group can be embedded in an extension group between modules over a group algebra, and we describe the image of this embedding. In particular, we determine every extension group for simple Mackey functors for a p-group and for a group which has a normal p-Sylow subgroup. Next, we focus on extension groups of higher degree between simple Mackey functors for a group with a p-Sylow subgroup of order p. We calculate explicitly the minimal projective resolution of a simple Mackey functor for the group Cp ⋊ Ce, where e divides p - 1 and Ce acts faithfully on Cp. This allows us to prove that every simple Mackey functor for a group whose order is not divisible by p2 has a periodic (or finite) minimal projective resolution. Next, we examine the socle of a projective Mackey functor for a p-group P. We prove that simple subfunctors of a projective functor indexed by a subgroup H of P are indexed by normalizers in H of subgroups of H. In particular, this implies that in the case where P is abelian, every simple subfunctor of our projective functor is indexed by H. We then study the socle of a specific projective Mackey functor, namely the Burnside functor BP, and we focus on the case where P is abelian. In particular, we calculate it in the case of a cyclic p-group, an abelian p-group of rank 2 and an elementary abelian p-group of rank 3. This enables us to determine the socle of an indecomposable projective Mackey functor indexed by a subgroup of P isomorphic to one of the previous groups. We end this work by providing an explicit formula for the Cartan coefficients of the Mackey functors for a p-group.
    Résumé
    Ce travail porte sur l'étude des foncteurs de Mackey projectifs. Les foncteurs de Mackey sont des structures algébriques possédant des opérations qui se comportent comme l'induction, la restriction et la conjugaison dans la théorie des représentations des groupes. Ces objets ont des propriétés qui généralisent de nombreuses constructions comme, par exemple, la cohomologie des groupes, l'anneau de Burnside ou la K-théorie algébrique des anneaux de groupes. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux groupes d'extension de degré 1 entre foncteurs de Mackey simples associés à un groupe G. La détermination de ces groupes est en effet un outil très important pour obtenir la série de Loewy des foncteurs projectifs. Nous déterminons les groupes d'extension entre des foncteurs de Mackey simples indexés par des sous-groupes normaux de G. Puis nous étudions à quelles conditions il est possible de se restreindre à ce cas et nous donnons des méthodes pour calculer les groupes d'extensions entre foncteurs simples qui ne sont pas indexés par des sous-groupes normaux. Nous nous intéressons ensuite au cas des groupes d'extension entre foncteurs simples indexés par le même sous-groupe. Dans ce cas, chaque groupe d'extension s'envoie de manière injective dans un groupe d'extension entre modules sur une algèbre de groupe. Nous décrivons alors l'image d'un tel monomorphisme. En particulier, nous déterminons tous les groupes d'extension pour des foncteurs de Mackey simples associés à un p-groupe et à un groupe possédant un p-sous-groupe de Sylow normal. Nous étudions ensuite les groupes d'extension de degré supérieur entre des foncteurs de Mackey simples, associés à un groupe possédant un p-sous-groupe de Sylow d'ordre p. Nous calculons explicitement les résolutions projectives minimales des foncteurs de Mackey simples associés au groupe Cp ⋊ Ce, où e divise p - 1 et où Ce agit fidèlement sur Cp. Cela nous permet alors de montrer que tous les foncteurs de Mackey simples associés à un groupe dont l'ordre n'est pas multiple de p2 possède une résolution projective minimale périodique (ou finie). Nous nous intéressons par la suite au socle des foncteurs de Mackey projectifs, associés à un p-groupe P. Nous prouvons que les sous-foncteurs simples d'un foncteur projectif indexé par un sous-groupe H de P sont eux-mêmes indexés par des normalisateurs dans H de sous-groupes de H. En particulier, ce résultat montre que dans le cas où P est abélien, tous les sous-foncteurs simples de notre foncteur projectif sont indexés par H. Nous nous intéressons alors au socle d'un foncteur de Mackey projectif spécifique, à savoir le foncteur de Burnside BP, essentiellement dans le cas abélien. En particulier, nous déterminons ce socle dans le cas d'un p-groupe cyclique, un p-groupe abélien de rang 2 et un p-groupe abélien élémentaire de rang 3. Cela nous permet de déterminer le socle d'un foncteur de Mackey projectif indécomposable indexé par un sous-groupe de P, isomorphe à l'un des groupes précédents. Nous terminons en donnant une formule explicite pour déterminer les coefficients de Cartan des foncteurs de Mackey associés à un p-groupe.