Faculté des sciences de base SB, Département de mathématiques, Institut d'analyse et calcul scientifique IACS (Chaire d'analyse mathématique et applications CAA)

Equations de type implicite avec contraintes

Tanteri, Chiara ; Dacorogna, Bernard (Dir.)

Thèse sciences Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 2000 ; no 2205.

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    Summary
    In this thesis we will treat the Dirichlet problem for systems of implicit equations, i.e. where Ω ⊂ Rn is an open set, u : Ω → Rm, Fi : Ω × Rm × Rm×n → R, m,n ≥ 1, are continuous functions and φ, the boundary datum, is given. At first we will be interested in the study of problems of the type (1) under constraints. We will show theorems of existence of Lipschitz solutions using an approach based on Baire category theorem. As corollaries of our abstract results, we will give two theorems related to the constraints det Du > 0 and det Du = 1, the constraints most closely related to the applications. Indeed, the constraints det Du > 0 and det Du = 1 come from nonlinear elasticity and represent respectively the conditions of non interpenetration of matter and incompressibility. In the second part of this study, we will focus on the applications. We will treat many examples such as the case of singular values, potential wells under the incompressibility constraint (i.e. det Du = l), the problem of confocal ellipses, the problem of nematic elastomers, particularly related to the fields of nonlinear elasticity, the microstructure of the crystals and the optimal design, as well as the complex eikonal equation (application related to geometric optics). From the mathematical point of view, we will give sufficient conditions of solvability of the system (1). These conditions consist in characterizing the different convex hulls. Indeed, the possibility of representing these sets, in algebraic terms, gives one of the conditions which the boundary datum must satisfy so that a problem of the type (1) admits a solution. Finally we will extend to polyconvex sets properties such as the gauge, the characterization of the extreme points and the Choquet function, all of which are well-known tools within the framework of classical convex analysis.
    Résumé
    Dans cette thèse nous traiterons du problème de Dirichlet pour les systèmes d'équations de type implicite, i.e. où Ω ⊂ Rn est un ensemble ouvert, u : Ω → Rm, les Fi : Ω × Rm × Rm×n → R, m,n ≥ 1, sont des fonctions continues et φ est une fonction donnée. Nous nous intéresserons, dans un premier temps, à l'étude de problèmes de type (1) sous contraintes. Nous démontrerons des théorèmes d'existence de solutions lipschitziennes par une approche basée sur le théorème des catégories de Baire. Comme corollaires de nos résultats abstraits, nous donnerons deux théorèmes relatifs aux contraintes det Du > 0 et det Du = 1, les contraintes les plus étroitement liées aux applications. En effet, les contraintes det Du > 0 et det Du = 1 proviennent de l'élasticité non linéaire et représentent respectivement les conditions de non interpénétration de la matière et d'incompressibilité. Dans la deuxième partie de ce travail, nous porterons notre attention aux applications. Nous traiterons de nombreux exemples tels que le cas des valeurs singulières, les puits de potentiel sous la contrainte de l'incompressibilité (i.e. det Du = l), le problème des ellipses confocales, le problème des élastomères nématiques, particulièrement liés aux domaines de l'élasticité non linéaire, de la microstructure des cristaux et de la structure optimale, ainsi que l'équation eikonale complexe (application concernant plutôt l'optique géométrique). Du point de vue mathématique, nous allons donner des conditions suffisantes de solvabilité du système (1). Ces conditions consistent à caractériser les différentes enveloppes convexes d'ensemble. En effet, la possibilité de représenter, en termes algébriques, ces ensembles donne une des conditions que la donnée au bord doit satisfaire pour qu'un problème de type (1) admette des solutions. Finalement nous étendrons aux ensembles polyconvexes des propriétés telles que la jauge, la caractérisation des points extrêmes, la fonction de Choquet, des instruments bien connus dans le cadre de l'analyse convexe classique.