Département de physique

Mesure de l'inconnexe d'une fonction aléatoire (théorie de la prévisibilité)

Ravussin, Pierre Emile ; Baatard, François (Dir.)

Thèse Ecole polytechnique fédérale de Lausanne EPFL : 1971 ; no 126.

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    Résumé
    La notion de mesure d'une grandeur physique est définie au sens de la mécanique aléatoire. Les équations générales de l'hydrodynamique sont données en exemple. Un modèle mathématique de prévision basé sur des mesures physiques est formulé, tout d'abord dans un cas à une dimension, puis dans un champ tridimensionnel de vecteurs turbulents. § 1 Introduction. Dès 1966, j'ai été chargé dans le cadre du groupe E.P.U.L. - I.S.M., comprenant le service de la protection de l'air (Dr. A. Junod) et la chaire de mécanique de la turbulence (Prof. F. Baatard), d'étudier une instrumentation nouvelle destinée à la mesure fine de la structure du vent. Cette étude se faisait parallèlement à des travaux théoriques afin d'établir des modèles mathématiques de diffusion permettant de calculer, donc de prévoir des concentrations de polluants dans l'espace et dans le temps. Les travaux sont menés parallèlement sur des modèles semi-rationnels où les grandeurs statistiques n'interviennent que par des constantes (Protection de l'air) et sur les bases de la mécanique aléatoire (chaire de la mécanique de la turbulence). J'ai été frappé par le coté empirique des modèles mathématiques semi-rationnels utilisés et par la difficulté d'établir un modèle de mécanique aléatoire évolutif. Il est dès lors apparu nécessaire d'établir une théorie de la prévisibilité faisant le pont entre la physique rationnelle et la mécanique purement aléatoire. Le modèle mathématique décrit ci-après permet d'étudier des phénomènes physiques, dont il n'existe pas de loi physique rationnelle, dont la loi déterministe n'est pas utilisable pratiquement ou dont on ne connaît qu'une partie du comportement physique (par exemple l'écoulement d'un fluide turbulent). § 2 Mysticisme, déterminisme et quantification. Nous trouverons dans les pages qui suivent une théorie nouvelle de la prévision numérique dont les météorologistes français Dedebant et Wehrlé ont perçu certains éléments dans quelques-uns de leurs essais. Dès que l'on parle de prévision, on fait appel à la notion de causalité ("causa efficiens" des Anciens). En remontant à la haute antiquité, la constatation de liens célestes entre certains phénomènes terrestres, par exemple entre la position du soleil sur le Zodiaque et le déroulement des saisons, aboutit à une application hâtive du principe de causalité. On attribua une signification particulière aux événements célestes qui devaient déterminer l'avenir des hommes. Ainsi naquit l'astrologie, qui avec ses lois aussi précises que mal fondées, et ses affirmations fatalistes, contribua à introduire le concept de nécessité absolue. L'interprétation mystique et animiste du mouvement des astres conduisit les philosophes antiques à la notion de cycle au bout duquel tous les phénomènes doivent se reproduire d'une façon identique et dans le même ordre. Ces concepts sont à rattacher à une théorie cosmologique concevant l'univers issu d'un "oeuf" initial et qui, après une période d'expansion se recondenserait. Historiquement parlant, l'application du concept de causalité à la règle de cause à effet est relativement récente. Actuellement, lorsque nous apprenons qu'une chose arrive, nous présupposons toujours qu'une chose a précédé, dont la première découle selon une règle. La physique de Newton, puis de Lagrange, (mécanique analytique) est ainsi conçue que l'on peut calculer à l'avance, à partir de l'état d'un système à un moment déterminé, le mouvement futur du système. Le déterminisme est l'établissement de lois naturelles fixes qui prédisent rigoureusement l'état futur d'un système d'après l'état actuel. Ces lois sont celles de la physique générale, qui régissent l'évolution et les interactions de l'énergie au sens le plus général, dans l'espace-temps. Ces lois sont celles par exemple du champ électromagnétique de Maxwell ou de la théorie relativiste de la gravitation d'Einstein. La science atomique a développé des notions qui conduisent la physique générale à une impasse : c'est l'impossibilité du physicien de déterminer exactement les conditions initiales. Cette difficulté a été partiellement soulevée en faisant appel à l'idée d'un concours statistique de nombreux petits processus isolés. Il en découle que l'on considère les lois de la nature uniquement comme des lois statistiques. Ces lois peuvent cependant conduire à des affirmations d'un degré de probabilité si élevé qu'il équivaut presque à une certitude. Ce "presque" est la différence qui existe entre une loi purement déterministe et une mécanique purement aléatoire. Les lois statistiques signifient que l'on ne connaît qu'incomplètement les systèmes physiques dont il s'agit. La physique quantique a d'ailleurs démontré qu'il n'était pas possible de connaître exactement les données d'un système à un instant fixé (principe d'incertitude d'Heisenberg). Les thermodynamiciens présupposent une connaissance incomplète du système physique qu'ils étudient. La notion de température par exemple n'a pas de sens si l'on connaît toutes les positions et toutes les vitesses des atomes d'un gaz. Le concept de température caractérise un groupe de systèmes équivalents dont on connaît en moyenne la position et la vitesse des atomes. Ainsi une mécanique aléatoire peut être décomposée en deux termes : l'un représentant la loi déterministe, l'autre la partie non connue du phénomène étudié. La théorie de la prévisibilité devra donc déterminer quelle est la partie rationnelle d'un phénomène étudié et donc, quelle est la probabilité que ce phénomène puisse se réaliser dans l'avenir.